Domanda serie di Fourier e trasformata di Fourier

[nasmil]

Ragazzi buongiorno, ho bisogno di una mano, sto preparando l'esame di metodi matematici e ho il dubbio su come portare avanti questi esercizi. Ve li scrivo qui:

Si ha una funzione g che, a seconda dei casi, è data da

$ t di R :
g(t) = cost ..se |t| <= pi/2 ..
g(t) = 0 ..se |t| > pi/2..
$
oppure la sua restrizione a $ [-pi,pi] $ prolungata ad $ R $ per periodicità.


Si vuole calcolare:
-l'integrale improprio di $ F(g(t))(w) dw $ tra $ -infty , + infty $ ( cioè l'integrale improprio della trasformata di Fourier tra meno infinito e più infinito,scusate se i simboli sono poco corretti)
-verificare che lo sviluppo in serie di Fourier di g sia: $ 1/pi + 1/2 cosx - 2/pi sum(k= 1 to k=infty) ( (-1)^k / (4k^2 -1) *cos(2kx) $

Ho cercato di scrivere le cose nel miglior modo possibile... Spero di risultare comprensibile


I miei problemi sono due:

1) non riesco a capire quale intervallo utilizzare per questi due esercizi, devo far riferimento a quello che vuole la funzione tra meno pi/2 e pi/2 (0 altrove) oppure devo dire che vale in tutto R cost? O altro ?
2) Dopo questo vorrei capire come calcolare nel modo giusto gli integrali che ci sono, però prima devo capire la 1) ovviamente..

Grazie..

[nasmil]

Forse la serie di fourier devo risolverla nell'intervallo $ -pi/2, pi/2 $ ?

E la trasformata devo intenderla nel senso delle distribuzioni quindi l'intervallo su tutto R e poi fare l'integrale?

[nasmil]

Qualcuno può darmi delle delucidazioni per favore? Non ci sto capendo nulla...

[nasmil]

Sto provando ma non riesco proprio a capire come fare