Domanda semplice su formula di Eulero
Salve... vorrei solo un informazione...
Guardando i compiti di metodi matematici spesso e volentieri ci sono sostituzioni negli integrali per applicare il teorema dei residui...
il mio professore perciò sostituisce spesso e volentieri
$ sinx = e^(ix) $
per quale motivo??
in teoria
$ e^(ix) = cosx +isenx $
il coseno che fine fa???
AGGIUNGO
guardanto su 'Matematica per l'ingegneria dell'informazione', prova anche a risolvere un integrale curvilineo complesso
$ int_(0)^(2pi) 1/zdz $
che diventa uguale a
$ int_(0)^(2pi) 1/(r*e^(it))ire^(it)dt $
anche qui... penso faccia riferimento sempre alle formule di eulero ma queste sostituzioni, come vengono fuori??
Grazie...
Guardando i compiti di metodi matematici spesso e volentieri ci sono sostituzioni negli integrali per applicare il teorema dei residui...
il mio professore perciò sostituisce spesso e volentieri
$ sinx = e^(ix) $
per quale motivo??
in teoria
$ e^(ix) = cosx +isenx $
il coseno che fine fa???
AGGIUNGO
guardanto su 'Matematica per l'ingegneria dell'informazione', prova anche a risolvere un integrale curvilineo complesso
$ int_(0)^(2pi) 1/zdz $
che diventa uguale a
$ int_(0)^(2pi) 1/(r*e^(it))ire^(it)dt $
anche qui... penso faccia riferimento sempre alle formule di eulero ma queste sostituzioni, come vengono fuori??
Grazie...
Risposte
"francescojordan":
AGGIUNGO
guardanto su 'Matematica per l'ingegneria dell'informazione', prova anche a risolvere un integrale curvilineo complesso
$ int_(0)^(2pi) 1/zdz $
che diventa uguale a
$ int_(0)^(2pi) 1/(r*e^(it))ire^(it)dt $
anche qui... penso faccia riferimento sempre alle formule di eulero ma queste sostituzioni, come vengono fuori??
Grazie...
Per quanto riguarda la tua prima domanda... neanche io so che fine faccia il coseno (e perché lo toglie in generale), per questo non avevo risposto prima. Magari ho/abbiamo frainteso e posso dirti di postare un esempio di quello che dici per capire qual è il problema.
Per la seconda la questione è più semplice (per me!), quindi cercherò di darti una risposta.
Ricordo la formula per il calcolo di un'integrale su una curva nei complessi
$\int_\gamma f(z)dz =\int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt$.
Ora, nel tuo caso (quello "quotato" da me) hai che $\gamma$ è una circonferenza di centro l'origine e raggio $r$. Se non ne sei convinto, pensa alla formula "classica" di tale circonferenza, cioè
$r (cos(t)+i sin(t))$
con le formule di Eulero $r (cos(t)+i sin(t))=r e^(it)$.
Possiamo andare avanti, tenendo conto che $\gamma'(t)= (r e^(it))'=ir e^(it)$ e applicare la formula. Ovviamente c'è da tener conto anche che la circonferenza così parametrizzata è percorsa in senso antiorario per $0\le t\le 2\pi$.
$\int_\gamma 1/z dz =\int_0^(2\pi) \frac{1}{r\cdot e^(it)}ir e^(it) dt$
Il passaggio fondamentale è proprio questo, poiché, tenendo conto della formula
$\int_\gamma f(z)dz =\int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt$,
abbiamo
- $\gamma'(t)=ir e^(it)$ che compare nell'integrale;
- l'integrale diventa da $0$ a $2\pi$ proprio per la parametrizzazione della circonferenza;
- $f(z)$ della formula equivale a $1/z$, dunque $f(\gamma(t))=1/(r\cdot e^(it))$.
La conclusione del calcolo non la metto perché, oltre ad essere piuttosto semplice, tu chiedevi come venisse fuori la sostituzione.
intanto grazie per la risposta....
ti posto alcuni esempi nei quali ha sostituito e^ix
$ int_(oo)^(oo) (senx)/(x*(2x^2+2x+1)^2)dx $
in questo caso, ha posto l'integrale uguale a:
$ Im int_(-oo)^(+oo) (e^(ix))/(x*(2x^2+2x+1)^2)dx $
oppure altro esempio
$ int_(-oo)^(+oo) (xsen(pix))/(1-x^2)dx $
e dice che ponendo $ g(x)=(x*e^(ipi))/(1-x^2) $
risulta che $ f(x)=Im (g(t)) $
riesci per caso a spiegarmi questi passaggi??
ti posto alcuni esempi nei quali ha sostituito e^ix
$ int_(oo)^(oo) (senx)/(x*(2x^2+2x+1)^2)dx $
in questo caso, ha posto l'integrale uguale a:
$ Im int_(-oo)^(+oo) (e^(ix))/(x*(2x^2+2x+1)^2)dx $
oppure altro esempio
$ int_(-oo)^(+oo) (xsen(pix))/(1-x^2)dx $
e dice che ponendo $ g(x)=(x*e^(ipi))/(1-x^2) $
risulta che $ f(x)=Im (g(t)) $
riesci per caso a spiegarmi questi passaggi??
Nel corso che ho seguito di analisi complessa, quello che mi hai scritto è stato l'ultimo argomento che ho visto.
In pratica si tratta di calcolare degli integrali (reali) servendosi delle tecniche di integrazione complessa su curve: dovrebbe essere il teorema dei residui applicato al calcolo di integrali definiti reali.
Non te lo spiego perché non sono in gradi di spiegartelo in maniera "capibile", oltre che non me lo ricordo molto (gli appunti li ho prestati e il corso l'ho seguito 3 anni fa!). Comunque non si tratta di "scomparse" del coseno o altro, c'erano dei metodi appositi per calcolare certi tipi di integrali reali mediante l'utilizzo dell'integrazione complessa.
In questo caso passo la palla ai tanti forumisti esperti in materia o che stanno seguendo ora certi argomenti.
In pratica si tratta di calcolare degli integrali (reali) servendosi delle tecniche di integrazione complessa su curve: dovrebbe essere il teorema dei residui applicato al calcolo di integrali definiti reali.
Non te lo spiego perché non sono in gradi di spiegartelo in maniera "capibile", oltre che non me lo ricordo molto (gli appunti li ho prestati e il corso l'ho seguito 3 anni fa!). Comunque non si tratta di "scomparse" del coseno o altro, c'erano dei metodi appositi per calcolare certi tipi di integrali reali mediante l'utilizzo dell'integrazione complessa.
In questo caso passo la palla ai tanti forumisti esperti in materia o che stanno seguendo ora certi argomenti.
già è un passo avanti... almeno so che dovrà essere l'ultimo argomento da studiare... siccome nei compiti di metodi l'integrale è sempre il primo esercizio, avevo deciso di partire da li ma a questo punto lo studierò per ultimo...
Grazie dell'aiuto... eventualmente aspetterò qualche dritta da altri matematici! Grazie ancora...
Grazie dell'aiuto... eventualmente aspetterò qualche dritta da altri matematici! Grazie ancora...
"francescojordan":
già è un passo avanti... almeno so che dovrà essere l'ultimo argomento da studiare... siccome nei compiti di metodi l'integrale è sempre il primo esercizio, avevo deciso di partire da li ma a questo punto lo studierò per ultimo...
Grazie dell'aiuto... eventualmente aspetterò qualche dritta da altri matematici! Grazie ancora...
Non c'è di che.
Tu, però, parli di un esame di "metodi", mentre io l'analisi complessa l'ho studiata nel corso di "funzioni di una variabile complessa". Non so se il programma è lo stesso del tuo, tutto qui. Magari quello che il mio corso prevedeva come "ultimo" argomento, nel tuo invece non è così, quindi non fidarti troppo come "ordine" degli argomenti.
Buono studio!
"francescojordan":
$int_(-oo)^(+oo)(senx)/(x*(2x^2+2x+1)^2)dx$
in questo caso, ha posto l'integrale uguale a:
$Im int_(-oo)^(+oo)(e^(ix))/(x*(2x^2+2x+1)^2)dx$
Semplicemente:
$int_(-oo)^(+oo)(e^(ix))/(x*(2x^2+2x+1)^2)dx=$
$=int_(-oo)^(+oo)(cosx+isenx)/(x*(2x^2+2x+1)^2)dx=$
$=int_(-oo)^(+oo)(cosx)/(x*(2x^2+2x+1)^2)dx+iint_(-oo)^(+oo)(senx)/(x*(2x^2+2x+1)^2)dx$
In questo modo, puoi calcolare contemporaneamente due integrali diversi:
$[int_(-oo)^(+oo)(cosx)/(x*(2x^2+2x+1)^2)dx] ^^ [int_(-oo)^(+oo)(senx)/(x*(2x^2+2x+1)^2)dx]$
sempre che, per motivi di simmetria, uno dei due non sia manifestamente nullo. Questo capita quando una delle due funzioni integrande è dispari. Ma non è questo il caso.
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA ECCOLA!!!!!
grazie!!!!
grazie!!!!
"speculor":
[Dovrei citare tutto l'intervento, ma evito per vari motivi (tra cui il regolamento).
[...]
sempre che, per motivi di simmetria, uno dei due non sia manifestamente nullo. Questo capita quando una delle due funzioni integrande è dispari. Ma non è questo il caso.
@ speculor
Io ricordavo che nel caso di integrali impropri reali si utilizzava il teorema dei residui integrando su una curva chiusa per poi prendere la parte reale o immaginaria del risultato e si otteneva il valore principale dell'integrale improprio. Era pressappoco il succo di quello che avevo detto a francescojordan seppur non specificando perché a parole ricordo solo questo.
Adesso, per curiosità volevo solo sapere se quello non era uno dei casi. Perché adesso mi chiedo se la mia ultima risposta sia sbagliata o corretta!
Ciao a tutti
Zero87 a me pare che quelloi che hai scritto sia giusto! almeno confrontando con il libro sotto...
"Zero87":
Io ricordavo che nel caso di integrali impropri reali si utilizzava il teorema dei residui integrando su una curva chiusa...
Certamente. Ora, si tratta di svolgere il seguente integrale complesso:
$[int_gamma(e^(iz))/(z*(2z^2+2z+1)^2)dz]$
lungo una curva $[gamma]$ opportuna. Per quanto riguarda il valore principale, questa terminologia è tipicamente necessaria solo in presenza di singolarità non eliminabili sull'asse reale. Questo è uno di quei casi. Anche se l'integrale contenente il seno, quello proposto per intenderci, esiste comunque, non solo nel senso del valore principale.
"Zero87":
Perché adesso mi chiedo se la mia ultima risposta sia sbagliata o corretta!
Senz'altro corretta.
"speculor":
[quote="Zero87"]
Perché adesso mi chiedo se la mia ultima risposta sia sbagliata o corretta!
Senz'altro corretta.[/quote]
Grazie per la risposta, almeno ho capito che qualcosa ancora mi ricordo!
Buon lavoro di "moderazione" nel forum.
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