Domanda semplice in teoria per voi esperti .. Integrabilità
Mi spiegate per bene quali siano le condizioni di integrabilità (magari andando al di là della continuità che in teoria è solo condizione sufficiente ma non neccesaria ) ...e poi mi spieghereste la differenza tra integrabilità e la possibilità di trovare primitive di quella funzione !? Trovare primitive è sempre possibile ?
E poi se non riesco a calcolare l' integrale (ammettiamo che per via analittica sia impossibile ) posso dire che l' integrale non esiste !?
Magari se mi spiegate sto esercizio capisco anche l' aspetto pratico
INTEGRALE [ (1+x) / x dx]
Grazie in anticipo per ogni vostra risposta
CIAO DAL TOD
E poi se non riesco a calcolare l' integrale (ammettiamo che per via analittica sia impossibile ) posso dire che l' integrale non esiste !?
Magari se mi spiegate sto esercizio capisco anche l' aspetto pratico
INTEGRALE [ (1+x) / x dx]
Grazie in anticipo per ogni vostra risposta
CIAO DAL TOD
Risposte
questo integrale va svolto per scomposizione, per la linearità dell'operatore integrale si trova:
$int(1+x)/xdx=int1/x+1dx=int1/xdx+intdx=ln|x|+x+c$
$int(1+x)/xdx=int1/x+1dx=int1/xdx+intdx=ln|x|+x+c$
Le condizioni di integrabilità dipendono dalla definizione di integrale che usi (integrale di Cauchy, di Riemann, di Lebesgue...).
[Prima di parlare di integrabilità mi sembra doveroso fare una precisazione: nonostante nei vari corsi di analisi alle superiori e nei primi anni di università si parli spesso di integrale indefinito, da un punto di vista matematico questo ha poco senso. Gli integrali andrebbero sempre intesi in modo definito, ossia calcolati tra due estremi di integrazione, eventualmente variabili. (Se non hai capito quello che ho detto non ti dannare troppo...)]
L'integrabilità garantisce il fatto che una data funzione ammette una primitiva che non diverge nel'intervallo di integrazione. Questo non vuole assolutamente dire che tale primitiva possa essere scritta per mezzo di funzioni elementari (cioè non garantisce che se ti metti con carta e penna riesci a risolvere l'integrale analiticamente). La mancanza di una primitiva elementare non ha alcuna ripercussione sull'integrabilità della funzione integranda, pertanto se non riesci a calcolare un integrale in modo analitico puoi solo speculare che tale funzione integranda non ammette primitiva esprimibile in forma chiusa ma non puoi dire nulla sull'integrabilità. (Ho detto speculare perchè anche per affermare che non esista primitiva in forma chiusa serve una dimostrazione che on è certo data dal fatto che qualcuno non riesca a trovarla).
L'integrale da te postato si puo svolgere nel mdo seguente:
(1+x)/x=1/x+x/x=1/x+1
Int(1/x+1)dx=Int(1/x)dx+Int(1)dx=ln(x)+x+C
Come ho detto prima, l'integrale andrebbe scritto nella forma Int[da x0 a x]((x+1)/x) e il risultato sarebbe ln(x/x0)+(x-x0)
[Prima di parlare di integrabilità mi sembra doveroso fare una precisazione: nonostante nei vari corsi di analisi alle superiori e nei primi anni di università si parli spesso di integrale indefinito, da un punto di vista matematico questo ha poco senso. Gli integrali andrebbero sempre intesi in modo definito, ossia calcolati tra due estremi di integrazione, eventualmente variabili. (Se non hai capito quello che ho detto non ti dannare troppo...)]
L'integrabilità garantisce il fatto che una data funzione ammette una primitiva che non diverge nel'intervallo di integrazione. Questo non vuole assolutamente dire che tale primitiva possa essere scritta per mezzo di funzioni elementari (cioè non garantisce che se ti metti con carta e penna riesci a risolvere l'integrale analiticamente). La mancanza di una primitiva elementare non ha alcuna ripercussione sull'integrabilità della funzione integranda, pertanto se non riesci a calcolare un integrale in modo analitico puoi solo speculare che tale funzione integranda non ammette primitiva esprimibile in forma chiusa ma non puoi dire nulla sull'integrabilità. (Ho detto speculare perchè anche per affermare che non esista primitiva in forma chiusa serve una dimostrazione che on è certo data dal fatto che qualcuno non riesca a trovarla).
L'integrale da te postato si puo svolgere nel mdo seguente:
(1+x)/x=1/x+x/x=1/x+1
Int(1/x+1)dx=Int(1/x)dx+Int(1)dx=ln(x)+x+C
Come ho detto prima, l'integrale andrebbe scritto nella forma Int[da x0 a x]((x+1)/x) e il risultato sarebbe ln(x/x0)+(x-x0)
io non sono sufficientemente esperto di integrali, ma per le mie attuali conoscenze credo che esistano funzioni che non ammettono primitiva
Secondo me per avere un aiuto utile ti conviene dire che cosa studi e a che anno, giusto per capire a che livello sei...
1° anno (Materia : Matematica ) e faccio economia ....
Cmq l' unica condizione di non integrabilità che ho trovato è che la funzione abbia un numero di discontinuità NON FINITO
Cmq da quel poco che ho capito ...tutto è integrabile ma non sempre è possibile trovare una primitiva ....
eheheh lo so ....sono un pò duro ...abbiate pazienza
Cmq l' unica condizione di non integrabilità che ho trovato è che la funzione abbia un numero di discontinuità NON FINITO
Cmq da quel poco che ho capito ...tutto è integrabile ma non sempre è possibile trovare una primitiva ....
eheheh lo so ....sono un pò duro ...abbiate pazienza
Non è assolutamente vero che tutto è integrabile, altrimenti che senso avrebbe definire delle condizioni?
Diciamo che le funzioni di uso pratico sono tutte integrabili, ma non lanciamoci in generalizzazioni esagerate.
Diciamo che le funzioni di uso pratico sono tutte integrabili, ma non lanciamoci in generalizzazioni esagerate.
Possiamo dire che l'integrale è l'area del sottografico di una funzione (non è una definizione, solo per capirci...).
E' chiaro che a questo punto dire che l'integrale è la primitiva è una cosa che non sta nè in cielo nè in terra...
In certi casi l'integrale si può calcolare sfruttando la primitiva. Tuttavia esistono casi semplici in cui l'integrale non si può calcolare con la primitiva, in quanto la primitiva non esiste. Alle volte esistono metodi per calcolare l'integrale senza l'uso diretto delle primitive.
Quanto detto finora ha senso se comunque la funzione è integrabile: ti basti sapere che tutte le funzioni continue sono integrabili (secondo Riemann, che è quello che ti interessa). Altre funzioni non continue sono integrabili, ma forse non è il caso di approfondire visto che sei al primo anno... Sicuramente esistono funzioni non integrabili...
Quello che ho chiamato integrale è quello che a volte si dice integrale definito. Ciò che confonde tutti gli studenti che non sono di scienze & co... è l'integrale indefinito: l'integrale indefinito è la classe di tutte le primitive di una funzione (se esistono). Ora: perchè denotare integrale una primitiva? Per quello che ho detto sopra... Ma giustamente penserai: l'integrale non è l'area del sottografico? C'è scritto in natura che l'area del sottografico è indissolubilmente legata alla primitiva? Certo che no! Per cui potrai continuare a chiamarlo integrale indefinito, ma sapendo che, pur essendoci legami, il calcolo di un'integrale, cioè di un'area, è diverso dalla determinazione di un'eventuale determinazione della primitiva...
Sono stato incomprensibile, vero?
E' chiaro che a questo punto dire che l'integrale è la primitiva è una cosa che non sta nè in cielo nè in terra...
In certi casi l'integrale si può calcolare sfruttando la primitiva. Tuttavia esistono casi semplici in cui l'integrale non si può calcolare con la primitiva, in quanto la primitiva non esiste. Alle volte esistono metodi per calcolare l'integrale senza l'uso diretto delle primitive.
Quanto detto finora ha senso se comunque la funzione è integrabile: ti basti sapere che tutte le funzioni continue sono integrabili (secondo Riemann, che è quello che ti interessa). Altre funzioni non continue sono integrabili, ma forse non è il caso di approfondire visto che sei al primo anno... Sicuramente esistono funzioni non integrabili...
Quello che ho chiamato integrale è quello che a volte si dice integrale definito. Ciò che confonde tutti gli studenti che non sono di scienze & co... è l'integrale indefinito: l'integrale indefinito è la classe di tutte le primitive di una funzione (se esistono). Ora: perchè denotare integrale una primitiva? Per quello che ho detto sopra... Ma giustamente penserai: l'integrale non è l'area del sottografico? C'è scritto in natura che l'area del sottografico è indissolubilmente legata alla primitiva? Certo che no! Per cui potrai continuare a chiamarlo integrale indefinito, ma sapendo che, pur essendoci legami, il calcolo di un'integrale, cioè di un'area, è diverso dalla determinazione di un'eventuale determinazione della primitiva...
Sono stato incomprensibile, vero?
quello che volete dire è che in pratica l'integrale indefinito certe volte non si può calcolare e non ha senso
se io dico:
$f(x)=0$ se $x in QQ$
$f(x)=1$ se $x in {RR-QQ}$
è integrabile?
se io dico:
$f(x)=0$ se $x in QQ$
$f(x)=1$ se $x in {RR-QQ}$
è integrabile?
"GuillaumedeL'Hopital":
quello che volete dire è che in pratica l'integrale indefinito certe volte non si può calcolare e non ha senso
se io dico:
$f(x)=0$ se $x in QQ$
$f(x)=1$ se $x in {RR-QQ}$
è integrabile?
su un intervallo? se si quale? bisogna inoltre specificare come la intendi l'integrazione visto di "integrale" ne sono state date diverse definzioni, talune più forti, talune più deboli e cmq tutte concettualmente diverse (sicuramente secondo Riemann, che credo sia l'"integrale" come è stato inteso in questa discussione, non è integrabile).
cmq direi che il discorso di amel va benissimo... qualcuno può avere le idee confuse e non è il caso di complicargli ulteriormente la vita
vabbè allora apro un altra sezione
guillaume figurati se fosse mia intenzione zittirti in questa discussione... il mio messaggio voleva suonare più o meno così: chi non ha ben chiare certe questioni di base, per il momento è meglio che si limiti ad accettare il discorso di amel senza farsi eventualmente fuorviare da post successivi (è un consiglio, non un comando). tu tra l'altro che penso abbia le idee già abbastanza chiare hai lecitamente il diritto di postare in questa o in altre discussioni tutti i dubbi che ti vengono in mente
Visto che Tod1985 ha chiesto se è sempre possibile trovare primitive, la risposta è no.
Ad esempio la funzione
$f(x)=0$ per $x<=0$
$f(x)=1$ per $x>0$
non è dotata di primitive
Il perchè deriva dal seguente teorema.
Sia f una funzione derivabile su (a,b), allora i punti di discontinuità di f ' non possono essere di prima o di seconda specie o di discontinuità eliminabile.
Ad esempio la funzione
$f(x)=0$ per $x<=0$
$f(x)=1$ per $x>0$
non è dotata di primitive
Il perchè deriva dal seguente teorema.
Sia f una funzione derivabile su (a,b), allora i punti di discontinuità di f ' non possono essere di prima o di seconda specie o di discontinuità eliminabile.
"Kroldar":
guillaume figurati se fosse mia intenzione zittirti in questa discussione... il mio messaggio voleva suonare più o meno così: chi non ha ben chiare certe questioni di base, per il momento è meglio che si limiti ad accettare il discorso di amel senza farsi eventualmente fuorviare da post successivi (è un consiglio, non un comando). tu tra l'altro che penso abbia le idee già abbastanza chiare hai lecitamente il diritto di postare in questa o in altre discussioni tutti i dubbi che ti vengono in mente
si, ma da quello che hai detto ho ritenuto opportuno fare quello che ho fatto
mi dispiace essere stato infelice nell'esposizione... rimedierò nell'altra discussione cercando di chiarire i tuoi dubbi
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