Domanda Riguardo un Integrale su un pezzo di Circonferenza
Salve a tutti, sono nuovo quindi scusate se posto nella sezione sbagliata!
Ecco il mio problema:
Stavo cercando di esercitarmi sugli integrali doppi, e mi sono ritrovato davanti a questo integrale:
$ int int_(D) (x-1)/((x-1)^2+y^2)dx dy $
Il dominio D e' questo :
$ D = {(x,y) in R^2 : (x-1)^2+y^2 >=1; 0<=y<=sqrt(3)*(x-1);1<=x<=2} $
Pensavo che, essendo D una sorta di Circonferenza ( (x-1)^2+y^2..), dovessi fare il cambio di variabile in coordinate polari, ma non riesco piu' ad andare avanti.
Se qualcuno riuscisse a spiegarmi cosa fare, ne sarei molto grato. Grazie mille!
Ecco il mio problema:
Stavo cercando di esercitarmi sugli integrali doppi, e mi sono ritrovato davanti a questo integrale:
$ int int_(D) (x-1)/((x-1)^2+y^2)dx dy $
Il dominio D e' questo :
$ D = {(x,y) in R^2 : (x-1)^2+y^2 >=1; 0<=y<=sqrt(3)*(x-1);1<=x<=2} $
Pensavo che, essendo D una sorta di Circonferenza ( (x-1)^2+y^2..), dovessi fare il cambio di variabile in coordinate polari, ma non riesco piu' ad andare avanti.
Se qualcuno riuscisse a spiegarmi cosa fare, ne sarei molto grato. Grazie mille!
Risposte
Ciao! Benvenuto sul forum. L'insieme $D$ non è una sorta di cerchio, c'è anche l'altra condizione $0 \le y \le \sqrt{3}(x-1)$ che rappresenta un semipiano individuato da una retta obliqua e la condizione $1 \le x \le 2$, che è una striscia verticale. In realtà, l'insieme $D$ è abbastanza differente da un cerchio o un settore circolare (hai provato a disegnarlo?), è un insieme avente come frontiera l'unione tra un arco di circonferenza e dei segmenti.
Non ho fatto i conti, ma se espressi in coordinate polari ma con il punto $(1,0)$ come polo sembrerebbero comunque decenti sia l'insieme $D$ sia la funzione integranda. Hai provato con quelle o hai usato le coordinate polari con polo nell'origine?
Non ho fatto i conti, ma se espressi in coordinate polari ma con il punto $(1,0)$ come polo sembrerebbero comunque decenti sia l'insieme $D$ sia la funzione integranda. Hai provato con quelle o hai usato le coordinate polari con polo nell'origine?
Prima di tutto, disegna bene il tuo dominio, per avere le idee chiare.
$(x-1)^2+y^2>=1$ , quindi tutto quello che sta fuori dal cerchio di raggio unitario centrato in $(1,0)$.
$y>=0$, quindi tutto ciò che sta al di sopra dell'asse $x$.
$y<= sqrt(3) (x-1)$ , quindi tutto ciò che sta al di sotto della retta $sqrt(3) (x-1)$
$1<=x<=2$, quindi puoi escludere i semipiani a sinistra di $x=1$ e a destra di $x=2$.
Cosa rimane? Rimane proprio l'insieme descritto Mephlip. Un insieme delimitato da due segmenti e un arco di circonferenza.
Puoi usare le coordinate polari qui? Mmm.
E se magassi risolvessi l'integrale doppio in un insieme (chiamiamolo $G$) che contiene $D$ (per il quale l'integrale e più facile), e poi sottraessi a tale valore ciò che era di troppo?
(Sono un po' ermetico perché vorrei che ci arrivassi tu).
$(x-1)^2+y^2>=1$ , quindi tutto quello che sta fuori dal cerchio di raggio unitario centrato in $(1,0)$.
$y>=0$, quindi tutto ciò che sta al di sopra dell'asse $x$.
$y<= sqrt(3) (x-1)$ , quindi tutto ciò che sta al di sotto della retta $sqrt(3) (x-1)$
$1<=x<=2$, quindi puoi escludere i semipiani a sinistra di $x=1$ e a destra di $x=2$.
Cosa rimane? Rimane proprio l'insieme descritto Mephlip. Un insieme delimitato da due segmenti e un arco di circonferenza.
Puoi usare le coordinate polari qui? Mmm.
E se magassi risolvessi l'integrale doppio in un insieme (chiamiamolo $G$) che contiene $D$ (per il quale l'integrale e più facile), e poi sottraessi a tale valore ciò che era di troppo?
(Sono un po' ermetico perché vorrei che ci arrivassi tu).
Tanto per capirci, il dominio d'integrazione è una cosa del genere:
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
stroke="grey";
circle([1,0],1); line([0,-1.713],[3,3.464]); line([1,-1],[1,3]); line([2,-1],[2,3]);
strokewidth=3; stroke="red";
arc([2,0],[1.5,0.866],1); line([1.5,0.866],[2,1.732]); line([2,1.732],[2,0]);[/asvg]
e questo è un insieme polare sufficientemente semplice se metti il polo nel centro della circonferenza, cioè in $(1,0)$.
Le limitazioni sull'anomalia $theta$ sono semplici da determinare "a occhio"; mentre delle due limitazioni sul raggio vettore $r$ una si determina "a occhio", l'altra bisogna fare mezzo conto.
Prova.
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
stroke="grey";
circle([1,0],1); line([0,-1.713],[3,3.464]); line([1,-1],[1,3]); line([2,-1],[2,3]);
strokewidth=3; stroke="red";
arc([2,0],[1.5,0.866],1); line([1.5,0.866],[2,1.732]); line([2,1.732],[2,0]);[/asvg]
e questo è un insieme polare sufficientemente semplice se metti il polo nel centro della circonferenza, cioè in $(1,0)$.
Le limitazioni sull'anomalia $theta$ sono semplici da determinare "a occhio"; mentre delle due limitazioni sul raggio vettore $r$ una si determina "a occhio", l'altra bisogna fare mezzo conto.
Prova.
Ciao BadBro00,
Benvenuto sul forum!
Perché dici ciò? Io l'ho risolto con le coordinate polari
${(x = 1 + \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta):} $
già suggerite da Mephlip e da gugo82 ed è molto semplice; tenendo conto che $\rho = \rho(\theta)$ se non ho fatto male i conti mi risulta semplicemente:
$\int \int_D (x-1)/((x-1)^2+y^2) \text{d}x \text{d}y = \pi/3 - sqrt3/2 $
Benvenuto sul forum!
"impe":
Puoi usare le coordinate polari qui? Mmm.
Perché dici ciò? Io l'ho risolto con le coordinate polari
${(x = 1 + \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta):} $
già suggerite da Mephlip e da gugo82 ed è molto semplice; tenendo conto che $\rho = \rho(\theta)$ se non ho fatto male i conti mi risulta semplicemente:
$\int \int_D (x-1)/((x-1)^2+y^2) \text{d}x \text{d}y = \pi/3 - sqrt3/2 $
Mica ho detto di non usarle (:
Intendevo che forse non conveniva utilizzarle subito, ma magari risolvere il problema in due step.
Questo è come ho osservato io l'esercizio, poi chiaramente non è l'unico modo.
Intendevo che forse non conveniva utilizzarle subito, ma magari risolvere il problema in due step.
Questo è come ho osservato io l'esercizio, poi chiaramente non è l'unico modo.
"impe":
Mica ho detto di non usarle (:
Beh, certo...
"impe":
Intendevo che forse non conveniva utilizzarle subito, ma magari risolvere il problema in due step.
Sì, sì ho capito cosa intendevi, probabilmente poi si ottiene lo stesso risultato (anche se non ho controllato): devo dire però che invece io ho trovato molto comodo passare subito alle coordinate polari di polo $(1, 0) $
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