Domanda Massimi e Minimi funzioni di 3 variabili
Ciao a tutti,
Volevo sapere se per studiare i punti di massimo e di minimo di una funzione in 3 variabili è necessario riscrivere la funzione come una funzione implicita di 2 variabili oppure se esiste una metodologia come per le funzioni di 2 variabili.
Grazie!
Volevo sapere se per studiare i punti di massimo e di minimo di una funzione in 3 variabili è necessario riscrivere la funzione come una funzione implicita di 2 variabili oppure se esiste una metodologia come per le funzioni di 2 variabili.
Grazie!
Risposte
Puoi procedere con l'Hessiano come per le funzioni di 2 variabili
Grazie, quindi costruisco la matrice hessiana 3x3, calcolo il determinante e verifico se nei vari punti critici l'hessiano risulta positivo, negativo o nullo... Nel caso in cui dovesse risultare positivo, devo sempre controllare il valore del primo elemento della matrice (ossia la derivata seconda lungo la coordinata $x$)?
"jollysa87":
Volevo sapere se per studiare i punti di massimo e di minimo di una funzione in 3 variabili è necessario riscrivere la funzione come una funzione implicita di 2 variabili oppure se esiste una metodologia come per le funzioni di 2 variabili.
La seconda alternativa è stata già sottoscritta da Alexp.
Per la tua prima osservazione, penso sia importante sottolineare che quanto dici non ha senso.
Mi spiego. Se hai da cercare il max di $f(x,y,z)$, non hai nessuna funzione implicita da nessuna parte.
Questa idea di "funzione implicita" può avere senso se cerchi un estremo vincolato: allora se hai un vincolo descritto da $g(x,y,z)=0$, potrai riscriverlo (ad esempio, e con tutte le cautele del caso) come $z=\phi(x,y)$. Dopo di che potrai sostituire nella $f$, riducendo così il problema alla ricerca di estremi per la funzione di due variabili $(x,y) \mapsto f(x,y,\phi(x,y))$.
Ma per tutto ciò devi avere come prima cosa un vincolo...
si infatti ho degli esercizi di quel genere, con i vincoli... ancora non ho studiato le funzioni implicite per questo chiedevo!
grazie per i chiarimenti!
grazie per i chiarimenti!
"jollysa87":
Nel caso in cui dovesse risultare positivo, devo sempre controllare il valore del primo elemento della matrice (ossia la derivata seconda lungo la coordinata $x$)?
Beh, per non sbagliare verifica gli autovalori, o più semplicemente la traccia, ossia se hai det. Hessiano positivo con la traccia positiva hai un minimo relativo, se la traccia è negativa hai un massimo relativo....Ciao
la traccia è la somma dei valori sulla diagonale della matrice hessiana calcolata nel punto critico dove risulta determinante positivo?
Si esatto, è la somma sulla diagonale principale, la quale coincide con la somma degli autovalori.
grazie mille! Anche per le funzioni di 2 variabili è sempre meglio considerare la traccia invece del primo elemento dell'hessiano?
No, per funzioni di 2 variabili è sicuramente la stessa cosa......forse lo è anche per funzioni a 3 variabili, solo che adesso non ricordo la costruzione....quindi per sicurezza, con la traccia non sbagli più!
ok grazie mille!
Questo vale in $n$ dimensioni? Una volta calcolato l'Hessiano se il determinante è positivo e la traccia è positiva si ha un minimo, se la traccia è negativa invece un massimo, se il determinante è negativo si ha un punto di sella, mentre se è uguale a zero non si può dire nulla, bisogna fare delle considerazioni?
Ciao a tutti, anche io sono alla ricerca di un metodo pratico per valutare se i punti critici sono di massimo, di minimo o di sella di una funzione a tre variabili attraverso la matrice hessiana, però mi sorge un dubbio.
Supponiamo di avere la seguente matrice hessiana:
$ | ( -2 , 0 , 4 ),( 0 , -3 , 0 ),( 4 , 0 , -1 ) | $
il cui determinante è 42 e la traccia è -6.
Per quanto detto nei messaggi precedenti il punto in questione dovrebbe essere di massimo relativo perché il determinante è positivo e la traccia negativa.
Sappiamo che Il punto in questione è di massimo relativo se la forma quadratica è definita negativa
Adesso applico il metodo di Sylvester-Jacobi alla stessa matrice.
Esso dice che:
la forma è definita negativa se e solo se i minori dispari sono negativi, mentre quelli pari sono positivi.
I minori principali sono: -2 , 6 , 42 e non soddisfano il requisito per dire che la matrice è definita negativa.
Mi chiedo siamo sicuri che ii metodo della traccia funzioni? Ed eventualmente quale metodo dovrei utilizzare?
Grazie
Supponiamo di avere la seguente matrice hessiana:
$ | ( -2 , 0 , 4 ),( 0 , -3 , 0 ),( 4 , 0 , -1 ) | $
il cui determinante è 42 e la traccia è -6.
Per quanto detto nei messaggi precedenti il punto in questione dovrebbe essere di massimo relativo perché il determinante è positivo e la traccia negativa.
Sappiamo che Il punto in questione è di massimo relativo se la forma quadratica è definita negativa
Adesso applico il metodo di Sylvester-Jacobi alla stessa matrice.
Esso dice che:
la forma è definita negativa se e solo se i minori dispari sono negativi, mentre quelli pari sono positivi.
I minori principali sono: -2 , 6 , 42 e non soddisfano il requisito per dire che la matrice è definita negativa.
Mi chiedo siamo sicuri che ii metodo della traccia funzioni? Ed eventualmente quale metodo dovrei utilizzare?
Grazie
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