Domanda lampo su insiemi

[_luca94_1]

Dato un insieme $A=(0,+\infty)$
Se ho un $b in RR$ tale che $b<\epsilon$ con $\epsilon > 0$ piccolo a piacere, posso dire che $b$ é un minorante per l' insieme $A$? Cioé $b<=0$?

[Sk_Anonymous]

Sì.

[axpgn]

"Delirium":Sì.

Sicuro? Toglimi un dubbio ...
Preso un $epsilon>0$ piccolo a piacere posso sempre trovare un $b>0$ ma $b Dove è l'errore (mio) ?

[Sk_Anonymous]

@axpgn: di solito "\(b< \epsilon\) con \(\epsilon > 0\) piccolo a piacere" è equivalente a "\(b < \epsilon \ \forall \epsilon > 0\)".

[axpgn]

Quindi, se il testo è quello iniziale, il mio dubbio è giustificato?

[_luca94_1]

"axpgn":Quindi, se il testo è quello iniziale, il mio dubbio è giustificato?

Beh non credo: ho specificato e epsilon é piccolo a piacere.

[Sk_Anonymous]

@axpgn: direi di no. Il senso dell'OP è chiaro.

[axpgn]

Il dubbio però non mi passa, quel "piccolo a piacere" con quel significato non mi convince ... Mi vengono in mente i limiti, con l'usuale formula "preso un $epsilon$ piccolo a piacere ... esiste un intorno per cui ... $b = |f(x)-L| < epsilon$, che implica che esiste un $b$ tale che $0 < b < epsilon$.
Mi sembra evidente che in tal caso la locuzione "piccolo a piacere" non ha lo stesso significato, da cui il mio dubbio.

Cordialmente, Alex

[Sk_Anonymous]

Il fraintendimento nasce a mio parere dall'utilizzo (improprio) dell'espressione "piccolo a piacere"; meglio quindi utilizzare i quantificatori logici. Una successione \(a_n \in \mathbb{R}\) converge ad un limite \(L \in \mathbb{R}\) se (definizione) \(\forall \ \epsilon>0\) (fissato!) \(\exists \, \bar{n} \in \mathbb{N} \) t.c. \(|a_n - L | < \epsilon \ \forall n \ge \bar{n} \).

Il fatto è che qui, nel caso dell'OP, non si sta fissando nulla (magari l'enunciato poteva essere espresso in maniera più limpida, ma ad ogni modo il senso rimane chiaro, anche perché va da sé che se \(b>0\), allora \(b\) non è un minorante di quell'insieme) - se così fosse, allora la tua obiezione sarebbe corretta. Ma se dico che \(\mathbb{R} \ni b < \epsilon \ \forall \epsilon > 0\), sto dicendo che \(b \le 0\).

[axpgn]

"Delirium":Il fraintendimento nasce a mio parere dall'utilizzo (improprio) dell'espressione "piccolo a piacere" ...

Difatti il mio dubbio nasceva da questo.

"Delirium":... (magari l'enunciato poteva essere espresso in maniera più limpida, ma ad ogni modo il senso rimane chiaro, anche perché va da sé che se \(b>0\), allora \(b\) non è un minorante di quell'insieme)

Proprio perché va da sé, l'enunciato mi faceva venire dubbi.

"Delirium":Ma se dico che \(\mathbb{R} \ni b < \epsilon \ \forall \epsilon > 0\), sto dicendo che \(b \le 0\).

Su questo, detto così, pienamente d'accordo, mai avuto dubbi.

Cordialmente, Alex