Domanda lampo, misura esterna
Mi interessa sapere se è vero che la misura esterna dell'insieme $E = Q nn [0,1] $ è pari a $1$.
Grazie in anticipo!
Grazie in anticipo!
Risposte
Se parli di misura esterna di Lebesgue, quello da te indicato è un insieme misurabile che ha misura (e quindi misura esterna) nulla.
Se invece parli di un'altra misura esterna, sei pregato di specificare meglio.
Se invece parli di un'altra misura esterna, sei pregato di specificare meglio.
Temevo fosse una definzione un po' poco convenzionale. Comunque oggi mi è stata definita una misura come funzione da una sigma-algebra in $[0,+oo]$. Dopodichè mi è stata introdotta questa nozione di misura esterna:
definito volume $v$ di un "intervallo" (il mio prof li chiama così gli iperparallelepipedi) $I$ di $RR^n$ la quantità $v(I)=prod_(i = 1)^(n) (b_i-a_i)$ $(i=1,..,n)$, la misura esterna di un'insieme $E sube RR^n$ è $m_e(E)="inf" {sum_(k=1)^(+oo)v(I_k) : E sube uu{::}_(k=1)^(+oo) I_k}$, $(k=1,..,n,..)$.
definito volume $v$ di un "intervallo" (il mio prof li chiama così gli iperparallelepipedi) $I$ di $RR^n$ la quantità $v(I)=prod_(i = 1)^(n) (b_i-a_i)$ $(i=1,..,n)$, la misura esterna di un'insieme $E sube RR^n$ è $m_e(E)="inf" {sum_(k=1)^(+oo)v(I_k) : E sube uu{::}_(k=1)^(+oo) I_k}$, $(k=1,..,n,..)$.
Allora non è vero che \(m_e(\mathbb{Q}\cap [0,1])=1\), poichè invero per ogni \(\varepsilon >0\) si può trovare una successione d'intervalli aperti \(I_n^\varepsilon\) che ricoprono \(\mathbb{Q}\cap [0,1]\) ed hanno somma delle misure \(<\varepsilon\).
Questo è un facile esercizio... Prova un po'.
Questo è un facile esercizio... Prova un po'.
Hai ragione, in effetti era una sciocchezza. Dovevo leggere meglio la definizione..
Dunque, dovrebbe bastarmi considerare intorni dei punti $x_1,..,x_n,..$ di ampiezza $epsilon/(2n^2)$ per esempio, in questo modo $sum_n v(I_n(epsilon)) = epsilon/2 sum_n 1/n^2 = epsilon*pi^2/12 < epsilon$.
Potrebbe andare?
E se ora considerassi gli irrazionali in $E=[0,1]$, la loro misura esterna qual'è? A naso direi che deve essere $1$: per la sub-numerabilità additiva la misura esterna dell'unione (in questo caso $m_e(E) = 1$) è sempre minore o uguale alla somma delle misure dei due insiemi (in questo caso quindi $0 + m_e(E-Q)$). Però non mi convince per niente..
Dunque, dovrebbe bastarmi considerare intorni dei punti $x_1,..,x_n,..$ di ampiezza $epsilon/(2n^2)$ per esempio, in questo modo $sum_n v(I_n(epsilon)) = epsilon/2 sum_n 1/n^2 = epsilon*pi^2/12 < epsilon$.
Potrebbe andare?
E se ora considerassi gli irrazionali in $E=[0,1]$, la loro misura esterna qual'è? A naso direi che deve essere $1$: per la sub-numerabilità additiva la misura esterna dell'unione (in questo caso $m_e(E) = 1$) è sempre minore o uguale alla somma delle misure dei due insiemi (in questo caso quindi $0 + m_e(E-Q)$). Però non mi convince per niente..
Sì, va bene.
Spesso si usano ampiezze del tipo $\epsilon 2^{-n}$, per il fatto che se serve calcolare anche il resto della serie lo si fa facilmente e in modo esplicito.
Riguardo alla seconda domanda, se indichi $A = [0,1]\cap \QQ$ e $B = [0,1]\setminus\QQ$ hai chiaramente
\( 1 = m_e([0,1]) = m_e(A\cup B) \leq m_e(A) + m_e(B) = m_e(B) \leq m_e([0,1]) = 1 \),
come da te congetturato.
Spesso si usano ampiezze del tipo $\epsilon 2^{-n}$, per il fatto che se serve calcolare anche il resto della serie lo si fa facilmente e in modo esplicito.
Riguardo alla seconda domanda, se indichi $A = [0,1]\cap \QQ$ e $B = [0,1]\setminus\QQ$ hai chiaramente
\( 1 = m_e([0,1]) = m_e(A\cup B) \leq m_e(A) + m_e(B) = m_e(B) \leq m_e([0,1]) = 1 \),
come da te congetturato.
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