Domanda flash - Varietà differenziabili
Ho seguito l'unica lezione del(la prima parte del) corso tenuta sulle varietà differenziabili, ma non è che c'abbia capito molto.
Assunte tutte le definizioni del caso, per esempio, quali sono gli "strumenti operativi" che mi permettono di capire se l'insieme \[M=\{ (z,w) \in \mathbb{C}^2 \, : \, z^2 = w^3 \} \] è una varietà differenziabile, oppure che mi permettono di trovare il più grosso insieme \(\Sigma \subset M\) tale che \( M \setminus \Sigma\) lo sia?
Ringrazio.
Assunte tutte le definizioni del caso, per esempio, quali sono gli "strumenti operativi" che mi permettono di capire se l'insieme \[M=\{ (z,w) \in \mathbb{C}^2 \, : \, z^2 = w^3 \} \] è una varietà differenziabile, oppure che mi permettono di trovare il più grosso insieme \(\Sigma \subset M\) tale che \( M \setminus \Sigma\) lo sia?
Ringrazio.
Risposte
Quale definizione di varietà differenziabile usi? Nel senso: la definizione è in realtà una, ma ci sono modi diversi di "enunciarla". Giusto per non mettermi a scrivere cose che magari hai visto in modo differente da come te le dico.
Ciao ciampax, intanto ti ringrazio per la risposta. Dunque, la definizione di sottovarietà che mi è stata data è la seguente:
Un insieme \(M \subset \mathbb{R}^n \) è una sottovarietà differenziabile di \(\mathbb{R}^n\) di classe \( \mathcal{C}^k \), \(k \ge 1\), e di dimensione \( d\), con \(1 \le d \le n-1 \), se per ogni \( \bar{x} \in M \) esistono \( \delta > 0\) ed \( f \in \mathcal{C}^k (B_{\delta}(\bar{x}); \mathbb{R}^{n-d})\) tali che:
i) \(B_{\delta}(\bar{x}) \cap M = \{ x \in B_{\delta}(\bar{x}) : f(x)=0 \} \);
ii) rango \(J_{f}(x) = n-d \) in ogni punto \(x \in B_{\delta}(\bar{x}) \) (ipotesi di rango massimo).
La (ii) mi pare semplice da controllare, ma la (i)?
Un insieme \(M \subset \mathbb{R}^n \) è una sottovarietà differenziabile di \(\mathbb{R}^n\) di classe \( \mathcal{C}^k \), \(k \ge 1\), e di dimensione \( d\), con \(1 \le d \le n-1 \), se per ogni \( \bar{x} \in M \) esistono \( \delta > 0\) ed \( f \in \mathcal{C}^k (B_{\delta}(\bar{x}); \mathbb{R}^{n-d})\) tali che:
i) \(B_{\delta}(\bar{x}) \cap M = \{ x \in B_{\delta}(\bar{x}) : f(x)=0 \} \);
ii) rango \(J_{f}(x) = n-d \) in ogni punto \(x \in B_{\delta}(\bar{x}) \) (ipotesi di rango massimo).
La (ii) mi pare semplice da controllare, ma la (i)?
Porto su.
Ah, quindi la definizioni come grafici (locali) di funzioni (o zeri di funzioni, se vuoi). Bé, nel tuo caso $f(z,w)=z^2-w^3$, non ti pare?
Ok, quindi la condizione (i), in questo caso, è "tautologica"...?
Bé, in un certo senso sì: dovresti solo verificare che la $f$ ha le caratteristiche richieste.
Ok, vediamo per esempio il seguente esercizio:
Siano \(\displaystyle 0 < r < R \) due parametri fissati e definiamo \[\displaystyle M=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : (\sqrt{x^2 + y^2} - R)^2 +z^2 -r^2=0 \} \]
Provare che \(\displaystyle M \) è una sottovarietà differenziabile di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) di classe \(\displaystyle \mathcal{C}^\infty \) e di dimensione \(\displaystyle 2 \).
Anche qui ho già \(\displaystyle M \) data come luogo degli zeri considerando \[\displaystyle f(x,y,z)=(\sqrt{x^2 + y^2} - R)^2 +z^2 -r^2=0 \] quindi tecnicamente dovrei controllare soltanto (ii).
Il problema è che non mi pare che \(\displaystyle M \) sia sottovarietà differenziabile su/di tutto \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \): infatti se considero il gradiente \[\displaystyle \nabla f(x,y,z)= \left( \frac{2x (\sqrt{x^2 + y^2} - R )}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{2y (\sqrt{x^2 + y^2} - R )}{\sqrt{x^2 + y^2}}, 2z \right) \] esso si annulla sicuramente in tutti i punti del tipo \(\displaystyle (x,\pm \sqrt{R^2 - x^2},0) \) (in \(\displaystyle 0 \in \mathbb{R}^3 \) no perché \(\displaystyle f_x \) ed \(\displaystyle f_y \) non sono ivi continue)...
Siano \(\displaystyle 0 < r < R \) due parametri fissati e definiamo \[\displaystyle M=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : (\sqrt{x^2 + y^2} - R)^2 +z^2 -r^2=0 \} \]
Provare che \(\displaystyle M \) è una sottovarietà differenziabile di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) di classe \(\displaystyle \mathcal{C}^\infty \) e di dimensione \(\displaystyle 2 \).
Anche qui ho già \(\displaystyle M \) data come luogo degli zeri considerando \[\displaystyle f(x,y,z)=(\sqrt{x^2 + y^2} - R)^2 +z^2 -r^2=0 \] quindi tecnicamente dovrei controllare soltanto (ii).
Il problema è che non mi pare che \(\displaystyle M \) sia sottovarietà differenziabile su/di tutto \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \): infatti se considero il gradiente \[\displaystyle \nabla f(x,y,z)= \left( \frac{2x (\sqrt{x^2 + y^2} - R )}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{2y (\sqrt{x^2 + y^2} - R )}{\sqrt{x^2 + y^2}}, 2z \right) \] esso si annulla sicuramente in tutti i punti del tipo \(\displaystyle (x,\pm \sqrt{R^2 - x^2},0) \) (in \(\displaystyle 0 \in \mathbb{R}^3 \) no perché \(\displaystyle f_x \) ed \(\displaystyle f_y \) non sono ivi continue)...
"Delirium":
Siano \(\displaystyle 0 < r < R \) due parametri fissati e definiamo \[\displaystyle M=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : (\sqrt{x^2 + y^2} - R)^2 +z^2 -r^2=0 \} \]
Provare che \(\displaystyle M \) è una sottovarietà differenziabile di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) di classe \(\displaystyle \mathcal{C}^\infty \) e di dimensione \(\displaystyle 2 \).
...se considero il gradiente [...] esso si annulla sicuramente in tutti i punti del tipo \(\displaystyle (x,\pm \sqrt{R^2 - x^2},0) \)
Ma, se non sbaglio, quei punti non stanno su \(M\).
Aah che sbadato! Giusto, hai ragione: detti \(\displaystyle P_x \) i punti \(\displaystyle (x, \pm \sqrt{R^2 -x^2}, 0) \) si ha che \[(\sqrt{x^2 + R^2 - x^2} -R )^2 -r^2 = -r^2 \ne 0 \]
Grazie, allora ho finito.
Grazie, allora ho finito.
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