Domanda flash - Forme differenziali esatte

[Sk_Anonymous]

Se ho una forma differenziale continua definita su un insieme "brutto" (i.e. un insieme che non sia convesso, che non sia un aperto stellato etc...) tipo il piano bucato \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\), come stabilisco se essa è esatta?
So che se \(\omega: D \to X^{*}\) è una forma differenziale continua con \(D\) aperto di \(X\) spazio reale di dimensione finita allora \(\omega\) è esatta \(\Longleftrightarrow\) per ogni circuito \(\gamma\) di \(D\) si ha \(\int_{\gamma} \omega =0\)... ma mica posso mettermi a controllare tutti i circuiti.
C'è qualche scappatoia o qualche teorema che non sto considerando...?

Ringrazio.

[walter891]

prova con un circuito che avvolge il "buco", dovrebbe bastare questo per dire che l'integrale è nullo su qualunque circuito

[Sk_Anonymous]

Perfetto, quindi basterebbe il circolo unitario... Tuttavia non riesco ad intuire perché sia sufficiente un circuito che avvolga il buco; mi illumini, per favore?

[Sk_Anonymous]

"Delirium":Perfetto, quindi basterebbe il circolo unitario... Tuttavia non riesco ad intuire perché sia sufficiente un circuito che avvolga il buco; mi illumini, per favore?

Questa cosa era spiegata sull'eserciziario marcellini sbordone e c'era un teorema in proposito.

[Maci86]

Devi guardare i casi, ogni circuito casca in due casi, uno che avvolge un punto qualsiasi, uno che avvolge l'origine M
Ovviamente se non c'è un buco in mezzo puoi contrarre il cammino al cammino nullo nel punto, quindi vale 0, se invece hai un buco devi valutarlo. Un buon esempio di forma fastidiosa è la forma dell'argomento:
$(-y/(x^2+y^2), x/(x^2 +y^2))$
Questa è localmente esatta ma non è esatta

[Sk_Anonymous]

Ok, ma qualcosa di un po' più rigoroso? Servono nozioni di omotopia? Secondo me sì (visto che gli integrali delle \(1\)-forme continue localmente esatte definite su un aperto su cammini omotopi sono uguali, e di fatto per la locale esattezza ci basta regolarità \(\mathcal{C}^1\) + chiusura), e intuitivamente direi che potrebbe valere una cosa del tipo che i circuiti che corrono intorno ad un punto sono tutti omotopi ad una circonferenza, o qualcosa di simile

[Maci86]

Ovviamente servono nozioni di omotopia, d'altra parte il concetto intuitivo è quello della reductio che viene impedita dal passaggio extra dominio. Tutti i circuiti senza buchi sono riducibili a cammini nulli attraverso un'applicazione più che continua che linearmente li trasforma in un solo punto, se applichi una funzione simile ad un circuito attorno a un punto fuori dal dominio non esiste nessuna funzione simile. Dovrebbe esserci tutto spiegato per bene sul De Marco...

[Rigel1]

"Delirium":Ok, ma qualcosa di un po' più rigoroso? Servono nozioni di omotopia? Secondo me sì (visto che gli integrali delle \(1\)-forme continue localmente esatte definite su un aperto su cammini omotopi sono uguali, e di fatto per la locale esattezza ci basta regolarità \(\mathcal{C}^1\) + chiusura), e intuitivamente direi che potrebbe valere una cosa del tipo che i circuiti che corrono intorno ad un punto sono tutti omotopi ad una circonferenza, o qualcosa di simile

Giusto per fissare le idee, supponi di avere una forma differenziale chiusa in \(\Omega := \mathbb{R}^2\setminus\{0\}\).
Come hai già osservato, tale forma è localmente esatta.
Se ho ben capito, la tua domanda è: come mai, per concludere che è esatta, basta verificare che \(\int_{\gamma} \omega = 0\) lungo una sola curva chiusa che faccia un giro attorno all'origine?
Per fissare ulteriormente le idee supponiamo che \(\gamma\) faccia un solo giro in senso antiorario attorno all'origine.

Per dimostrare che l'integrale è nullo lungo qualsiasi curva omotopa a \(\gamma\), un modo semplice è il seguente.

1) L'integrale è nullo lungo una qualsiasi circorferenza \(\eta\) (sempre percorsa una sola volta in senso antiorario) avente raggio \(r\) sufficientemente piccolo in modo da essere contenuta nella componente connessa limitata di \(\mathbb{R}^2\) racchiusa da \(\gamma\).
Basta infatti applicare il teorema di Green alla regione del piano "compresa" fra \(\eta\) e \(\gamma\).

2) L'integrale è nullo lungo una qualsiasi curva chiusa \(\delta\) che faccia un giro in senso antiorario attorno all'origine.
Basta infatti considerare una circonferenza \(\eta\) di raggio sufficientemente piccolo e applicare il teor. di Green per concludere che \(\int_{\delta}\omega = \int_{\eta}\omega = 0\) (l'ultima uguaglianza discende dal punto 1).

Naturalmente lo stesso schema può essere utilizzato per dimostrare che l'integrale è invariante per omotopia (quando la forma è chiusa ma non esatta).

[Sk_Anonymous]

"Rigel":Giusto per fissare le idee, supponi di avere una forma differenziale chiusa in \(\Omega := \mathbb{R}^2\setminus\{0\}\).
Come hai già osservato, tale forma è localmente esatta.
Se ho ben capito, la tua domanda è: come mai, per concludere che è esatta, basta verificare che \(\int_{\gamma} \omega = 0\) lungo una sola curva chiusa che faccia un giro attorno all'origine?
Per fissare ulteriormente le idee supponiamo che \(\gamma\) faccia un solo giro in senso antiorario attorno all'origine.

Per dimostrare che l'integrale è nullo lungo qualsiasi curva omotopa a \(\gamma\), un modo semplice è il seguente.

1) L'integrale è nullo lungo una qualsiasi circorferenza \(\eta\) (sempre percorsa una sola volta in senso antiorario) avente raggio \(r\) sufficientemente piccolo in modo da essere contenuta nella componente connessa limitata di \(\mathbb{R}^2\) racchiusa da \(\gamma\).
Basta infatti applicare il teorema di Green alla regione del piano "compresa" fra \(\eta\) e \(\gamma\).

2) L'integrale è nullo lungo una qualsiasi curva chiusa \(\delta\) che faccia un giro in senso antiorario attorno all'origine.
Basta infatti considerare una circonferenza \(\eta\) di raggio sufficientemente piccolo e applicare il teor. di Green per concludere che \(\int_{\delta}\omega = \int_{\eta}\omega = 0\) (l'ultima uguaglianza discende dal punto 1).

Naturalmente lo stesso schema può essere utilizzato per dimostrare che l'integrale è invariante per omotopia (quando la forma è chiusa ma non esatta).

Grazie, anche se per ora "non ho ancora a disposizione" il teorema di Green. Anche questo post di dissonance mi ha aiutato a chiarire le idee.