Domanda equazione VERO-FALSO
Salve ragazzi al mio ultimo esame mi è uscita questa affermazione in un vero-falso, ovviamente la risposta deve essere motivata, la domanda recitava:
--> l'equazione $e^x+x=0$ ammette una ed una sola soluzione? <--
RISPOSTA: dovrebbe essere VERA!!
mi hanno consigliato questa soluzione xo quando viene calcolata la f(0) e la f(-1), che tra l'altro vendo il grafico è anche giusto, non capisco da dove possono uscire questi valori, poi un altra cosa che non capisco quello che sta scritto tra parentesi e>3
al mio paese $e=2,718281828$
$e^x$ è continua
$x$ è continua
quindi $f(x)=e^x+x$ è continua,
inoltre calcoliamo $f(0)= 1$ , mentre $f(-1)=e^(-1)-1<0$ (perché $e>3$, quindi $e^(-1)$ = $1/e$<$1/3$)
quindi per il Teorema dell'esistenza degli zeri esiste almeno un punto $x$ in $[-1,0]$ (in realtà in questo caso è unico) tale che $f(x)=0$.
--> l'equazione $e^x+x=0$ ammette una ed una sola soluzione? <--
RISPOSTA: dovrebbe essere VERA!!
mi hanno consigliato questa soluzione xo quando viene calcolata la f(0) e la f(-1), che tra l'altro vendo il grafico è anche giusto, non capisco da dove possono uscire questi valori, poi un altra cosa che non capisco quello che sta scritto tra parentesi e>3
al mio paese $e=2,718281828$$e^x$ è continua
$x$ è continua
quindi $f(x)=e^x+x$ è continua,
inoltre calcoliamo $f(0)= 1$ , mentre $f(-1)=e^(-1)-1<0$ (perché $e>3$, quindi $e^(-1)$ = $1/e$<$1/3$)
quindi per il Teorema dell'esistenza degli zeri esiste almeno un punto $x$ in $[-1,0]$ (in realtà in questo caso è unico) tale che $f(x)=0$.
Risposte
ciao Peppe!
La risposta è corretta è vero, ma alla tua dimostrazione manca un pezzetto
Non sai da dove escono quei valori (0 e -1) perchè in realtà li provi a caso, provi assolutamente a caso due, tre, quattro, cinque valori finchè non trovi per esempio che
$f(0)>0$
$f(-1)<0$
a caso per modo di dire ovviamente, perchè sono a volte l'istinto e lo studio di funzione e la esperienza che ti guidano in questa ricerca... provi!! fai magari uno studio di funzione approssimato, ti basta fare un grafico alla veloce, sapere come si comporta la funzione all'infinito, quale sia il suo campo di esistenza, eventuali asintoti, massimi, minimi, tutto molto alla veloce... poi provi.... vedi che in x=0 la funzione è positiva ma a sinistra non lo è più... provi x=-5 e vedi che è negativa... provi ancora x=-2, è ancora negativa... provi x=-1 è ancora negativa... allora basta prendi (-1,0) come intervallo
Dopodichè, giusto , applichi il teorema di esistenza degli zeri
se una funzione è continua in $(a,b)$ e tale che $f(a)f(b)<0$ allora esiste un punto $c in (a,b)$ tale che $f(c)=0$
e così sei sicuro che li in mezzo c'è uno zero.
Bene.
Ma ti posso obiettare... " e fra 2345 e 2349 sei sicuro che non ce ne sia un altro"?? e perchè non un altro fra -12 e -13?? come fai cioè a dire che quello zero è unico??
Per rispondere devi fare la derivata
$y'=e^x+1$
Questa funzione ($y'$) è sempre positiva... allora la funzione di partenza ($y$) è sempre crescente... allora una volta che ha attraversato lo zero non lo attraverserà più e il tuo zero è dimostrato essere unico!
ciao!!
La risposta è corretta è vero, ma alla tua dimostrazione manca un pezzetto
Non sai da dove escono quei valori (0 e -1) perchè in realtà li provi a caso, provi assolutamente a caso due, tre, quattro, cinque valori finchè non trovi per esempio che
$f(0)>0$
$f(-1)<0$
a caso per modo di dire ovviamente, perchè sono a volte l'istinto e lo studio di funzione e la esperienza che ti guidano in questa ricerca... provi!! fai magari uno studio di funzione approssimato, ti basta fare un grafico alla veloce, sapere come si comporta la funzione all'infinito, quale sia il suo campo di esistenza, eventuali asintoti, massimi, minimi, tutto molto alla veloce... poi provi.... vedi che in x=0 la funzione è positiva ma a sinistra non lo è più... provi x=-5 e vedi che è negativa... provi ancora x=-2, è ancora negativa... provi x=-1 è ancora negativa... allora basta prendi (-1,0) come intervallo
Dopodichè, giusto , applichi il teorema di esistenza degli zeri
se una funzione è continua in $(a,b)$ e tale che $f(a)f(b)<0$ allora esiste un punto $c in (a,b)$ tale che $f(c)=0$
e così sei sicuro che li in mezzo c'è uno zero.
Bene.
Ma ti posso obiettare... " e fra 2345 e 2349 sei sicuro che non ce ne sia un altro"?? e perchè non un altro fra -12 e -13?? come fai cioè a dire che quello zero è unico??
Per rispondere devi fare la derivata
$y'=e^x+1$
Questa funzione ($y'$) è sempre positiva... allora la funzione di partenza ($y$) è sempre crescente... allora una volta che ha attraversato lo zero non lo attraverserà più e il tuo zero è dimostrato essere unico!
ciao!!
ok 
grazie 1000 mazzarri
mi hai tolto davvero un grosso dubbio
grazie 1000 mazzarri
mi hai tolto davvero un grosso dubbio
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