Domanda dominio funzione in due variabili

[manuelferrara1]

Buongiorno,

Calcolando il dominio di questa funzione mi è venuto un dubbio:

$f(x,y)= log(x(y-x)^(1/2))/(xy-1)$

Le condizioni che ho posto sono:
1) $x(y-x)^(1/2)>0$
2) $xy-1≠0$

Il problema me lo da la prima condizione.

Dato che devo studiare quando è $>0$ divido la prima condizione in due:
-) $x>0$
-) $(y-x)^(1/2)>0$, ovvero $y>x$

Le risolvo entrambe individuando i punti positivi e quelli negativi;
la prima è positiva nel primo e nel quarto quadrante, la seconda è positiva per $y>x$.

Il fatto è che ora studiando i segni di entrambe quando sono positive IO ottengo un grafico, mentre con Derive ne ottengo un'altro.
Con Derive ottengo $0
Dov'è l'errore?? Mi potete dirmi dove sbaglio, cosa e farmi vedere i passaggi corretti per favore??

Grazie

[vict85]

Vorrei ricordarti che \(\displaystyle (y-x)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y - x} \). La radice quadrata è definita, per i reali, dai soli valori maggiori o uguali a zero.

Perciò hai il sistema:
\[ \begin{cases} y-x \ge 0 \\ x(y-x)^{\frac{1}{2}} > 0 \\ xy - 1 \neq 0\end{cases} \]

L'ultima condizione diventa \(\displaystyle y\neq 1/x \)

Mischiando le condizioni della prima e della seconda possiamo modificare il sistema in
\[ \begin{cases} y > x \\ x > 0 \\ y \neq \frac{1}{x}\end{cases} \]

[manuelferrara1]

Grazie mille vict85!