Domanda di utilizzo integrali per sostituzione

[Silence1]

Buondì, avrei una domanda riguardo le sostituzioni in quanto tali, il procedimento mi è chiaro ma il primo passo è per me il più difficile. Esempio per chiarire:

$ int(1-(2x)^(1/3))/((2x)^(1/2)) dx $

Dopo aver provato invano a risolverlo, rivolgendomi alla soluzione ho letto semplicemente: "consideriamo $ 2x=t^6 $"
E considerando $ 2x=t^6 $ in effetti il resto è facile. Il problema mio è: in base a cosa prendo e decido che $ 2x=t^6 $? Una volta che lo leggo mi rendo conto anche che ha senso, perchè tutti gli esponenti diventano interi, ma quando mi trovo davanti all'integrale e sto armeggiando con una sostituzione, cosa dovrei guardare, o cercare di fare? Spero la domanda sia chiara, non so se mi sono spiegato a dovere. C'è una linea di pensiero che può portarmi a una sostituzione intelligente o è questione di esperienza?

Altro esempio (per varietà):

$ int sqrt(R^2-x^2)xd $

Così "dal nulla" (lo stesso nulla che vorrei conoscere io), decide che $ t=x/|R| $, e arrivati alla forma $R^2intsqrt(1-t^2)dt$ prende e aggiunge $t=sinz$, che ripeto, una volta mostrati ok, nessun problema. Ma come ci arrivo?

Grazie

[feddy]

Per il primo è una tecnica generale: quando hai potenze di $x^(1/p)$, basta fare l'mcm di questi denominatori: in questo caso l'mcm tra 3 e 2 è 6.
Il secondo invece è un tipico esempio di integrale irrazionale: su questi c'è una certa teoria che ti consiglio di guardare. In particolare, arrivato a $sqrt(1-t^2)$, ponendo $t=sin(z)$ si ha che dalla relazione fondamentale della trigonometria l'integranda diventa $cos^2(z)$
Infatti un fattore $cos(z)$ viene da $dt=cos(z)dz$

[Silence1]

Bene, appuntato il discorso delle potenze e trovato quel che dici sugli irrazionali, ti ringrazio. Mi sa che l'occhio si acquista solo facendone... e allora sotto a chi tocca.