Domanda di teoria sulle norme

[ludwigZero]

Salve
una domanda di teoria che mi sono posto: ha qualche fine preciso o uso preciso il fatto che in $R^n$ tutte le norme siano equivalenti?

(ci sarebbe la dimostrazione, ma il mio scopo è capire come 'si usa' questa norma e perchè...)

grazie

[gugo82]

Non capisco la domanda... Più che altro non capisco il nesso tra la domanda vera e propria e la considerazione in parentesi che la segue.
Che vuol dire "come 'si usa' questa norma e perchè"?

[ludwigZero]

che informazioni utili mi può dare sapere che su $R^n$ tutte le norme sono equivalenti?

[gugo82]

Dipende da cosa intendi per "informazioni utili"... L'essere tutte le norme equivalenti è già di per sé un'informazione utile, giacché questa proprietà non è vera nel caso di altri spazi vettoriali.
Ad esempio, lo spazio delle funzioni continue in un intervallo compatto, i.e. \(C([a,b])\), si può dotare di molte norme ed esse non sono tutte equivalenti (e si guardano bene dall'esserlo!).

Volendo scendere un po' più a livello base, l'equivalenza delle norme è importante perchè ti consente di dire che, pur cambiando la struttura metrica sottostante, tutte le proprietà che hai provato in \((\mathbb{R}^N ,\ |\cdot |)\) (qui \(|\cdot |\) è la norma euclidea, ossia quella indotta dal prodotto scalare standard) rimangono vere pure in \((\mathbb{R}^N,\ \| \cdot \|)\) (qui \(\| \cdot \|\) è una norma generica).
Ad esempio: visto che in \((\mathbb{R}^N ,\ |\cdot |)\) sono compatte tutte e sole le parti chiuse e limitate, anche in \((\mathbb{R}^N ,\ \| \cdot \|)\) vale questa caratterizzazione.
Infatti, l'equivalenza delle norme, i.e. il fatto che esistano due costanti \(C\geq c>0\) tali che \(c\| x\| \leq |x|\leq C \| x\|\), ti assicura che le metriche generate dalle due norme inducono la stessa topologia; quindi tutti i fatti relativi alla topologia euclidea (come la caratterizzazione della compattezza) continuano a valere pure nella topologia indotta dalla norma \(\| \cdot\|\).

[ludwigZero]

*_* mi hai aperto un mondo nuovo.
era questo che volevo sapere, in generale oltre alla norma quale altre le proprietà vengono ereditate? nel senso, se cambio metrica, potrebbero cambiare anche le proprietà di uno spazio secondo una data metrica?

[gugo82]

"ludwigZero":in generale oltre alla norma quale altre le proprietà vengono ereditate? nel senso, se cambio metrica, potrebbero cambiare anche le proprietà di uno spazio secondo una data metrica?

Ovviamente, le proprietà topologiche di uno spazio normato (e, più in generale, metrico) cambiano se si cambia la norma (o la metrica): infatti, in generale, cambiare norma (o metrica) equivale a cambiare topologia e dunque a modificare radicalmente lo spazio su cui si lavora.
Ovviamente, tutto ciò non lo vedi nel caso finito-dimensionale, perchè come detto le norme su uno spazio di tal fatta sono tutte equivalenti; perciò, per fare un esempio devi pensare a spazi più grandi.

Ad esempio, prendi il già citato \(C([a,b])\) (che non ha dimensione finita, perchè contiene tutte le funzioni polinomiali).
Su di esso è possibile mettere diverse norme: le più semplici sono quelle definite ponendo:
\[
\| u\|_\infty := \max_{x\in [a,b]} |u(x)| \qquad \text{e}\qquad \| u\|_1 :=\int_a^b |u(x)|\ \text{d} x
\]
dette, rispettivamente, norma del massimo e norma \(L^1\) (provare che tali funzioni sono effettivamente delle norme è molto semplice).
Le metriche indotte da tali norme sono quelle definite da:
\[
d_\infty (u,v):=\| v-u\|_\infty \qquad \text{e}\qquad d_1(u,v):= \| v-u\|_1
\]
dette, rispettivamente, metrica della convergenza uniforme e metrica della convergenza in media (d'ordine \(1\)).
Il nome della prima metrica deriva dal fatto che essa induce la convergenza uniforme in \(C([a,b])\): in altri termini, assegnata una successione di funzioni \((u_n)\subset C([a,b])\) ed una \(u\in C([a,b])\) si ha \(u_n\to u \text{ rispetto a } d_\infty\) se e solo se:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu\in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu,\ d_\infty (u,u_n)=\max_{x\in [a,b]}|u_n(x)-u(x)| < \varepsilon
\]
ossia se e solo se \(u_n \to u \text{ uniformemente in } [a,b]\).
Ora, un notevole teorema di Analisi II (che studierai, prima o poi) ti assicura che se ha \(u_n \to u \text{ uniformemente in } [a,b]\) se e solo se è soddisfatta la condizione di Cauchy:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu\in \mathbb{N}:\ \forall n,m\geq \nu,\ d_\infty (u_m,u_n)=\max_{x\in [a,b]}|u_n(x)-u_m(x)| < \varepsilon
\]
il che equivale a dire che una successione di funzioni \((u_n)\subset C([a,b])\) è convergente rispetto a \(d_\infty\) se e solo se essa è una successione di Cauchy rispetto a \(d_\infty\).
Questo fatto si suole esprimere dicendo che \(C([a,b])\) è uno spazio metrico completo rispetto alla metrica \(d_\infty\), oppure (se si vuole mettere in risalto la norma dalla quale è indotta la metrica) che \(C([a,b])\) è uno spazio di Banach rispetto alla norma \(\|\cdot\|_\infty\).

Tuttavia, questo stesso fatto non si verifica affatto se si norma \(C([a,b])\) con la norma \(\|\cdot\|_1\): ad esempio, prendi la successione definita ponendo:
\[
u_n(x):=\begin{cases} -1 &\text{, se } a\leq x\leq c -\frac{1}{n}\\
n\left( x- c \right) &\text{, se } c -\frac{1}{n} \leq x\leq c +\frac{1}{n} \\
1 &\text{, se } c -\frac{1}{n} \leq x\leq b
\end{cases} \qquad \text{con } c:= \frac{a+b}{2}
\]
tale successione è fatta da funzioni continue (questo è evidente), è una successione di Cauchy rispetto a \(d_1\) (qui si devono fare due conticini...) e però non converge verso alcuna funzione \(u\in C([a,b])\).
Infatti, è possibile far vedere che se esistesse una \(u\in C([a,b])\) si dovrebbe avere \(u(x)=1\) in ogni intorno destro di \(c\) ed \(u(x)=-1\) in ogni intorno sinitro di \(c\), da cui l'assurdo perchè essendo \(u\) continua non può risultare \(\lim_{x\to c^-} u(x)=-1<1=\lim_{x\to c^+} u(x)\).
Conseguentemente nello spazio metrico \((C([a,b]), d_1)\) è possibile trovare delle successioni di Cauchy che non convergono a nessun elemento dello spazio: ciò si suole esprimere dicendo che \(C([a,b])\) non è uno spazio metrico completo rispetto a \(d_1\), ovvero che esso non è uno spazio di Banach rispetto a \(\|\cdot \|_1\).

Se ci pensi un po' su, capirai che la differenza tra \((C([a,b]), \|\cdot \|_\infty)\) e \((C([a,b]), \|\cdot \|_1)\) è più o meno simile a quella che passa tra \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{Q}\): infatti, la successione numerica definita da:
\[
a_1=1,\ a_2=1.4,\ a_3=1.41,\ a_4=1.414,\ a_5=1.4142,\ a_6=1.41421,\ a_7= 1.414213,\ \ldots
\]
non converge in \(\mathbb{Q}\), pur essendo di Cauchy, epperò converge in \(\mathbb{R}\) verso \(\sqrt{2}\).