Domanda di teoria sul epsilon delta di "controllo"

[gandolfo_m]

Ciao ragazzi, ho assoluto bisogno di voi , no a parte gli scherzi, ho seriamente un dubbio da cui non riesco a uscire e che mi sta facendo rivedere una cosa tanto semplice ma di cui ero convito fin dalle superiori e credo mi stia mandando ai matti. Proverò a spiegarmi meglio che posso, in caso non fossi molto chiaro proverò a integrare nei post successivi sperando, come al solito, grazie all'aiuto di qualcuno più preparato di uscirne nonostante la mia idiozia. Vediamo...

In principio è la arcinota
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $

Io l'ho sempre letta così: fisso un epsilon, dato un tale epsilon io trovo di conseguenza un delta, noto questo fissato epsilon e delta cioè che faccio è controllare se $x-x_0$ risulta dentro al raggio delta e se cio' implica che $|f(x) - l|$ è minore del raggio iniziale sono a cavallo e ho la definizione di limite verificata.

Tutto bello e idilliaco finché mi scontro con una dimostrazione in cui si arriva a:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| 0 in tal caso.

Ecco, quel k mi manda in crisi: perché ora la definizione par essere, fisso un epsilon, dato un tale epsilon io trovo di conseguenza un delta, noto questo fissato epsilon e delta cioè che faccio è controllare se $x-x_0$ risulta dentro al raggio delta e se cio' implica che $|f(x) - l|$ è minore del raggio moltiplicato per una costante k anche qusto verifica la definizione di limite. Bel problema perché a intuizione non mi trovo più: io seleziono un primo raggio di controllo $epsilon$ ma poi verifico che la funzione rispetta in fin dei conti: $|f(x) - l|
Cercando un po' online mi pare di capire che l'idea comune sia questa:
Siccome io ho $forallepsilon$ io posso scegliere $epsilon*k$ da cui discende un $delta_(epsilonk)$ tale per cui $0<|x - x_0|<\delta_(epsilonk) \Rightarrow |f(x) - l| in sostanza è come se dicessi:
$forall epsilon, ∃ epsilon*k ∧ k>0 : 0<|x - x_0|<\delta_(epsilonk) \Rightarrow |f(x) - l| 0 : 0<|x - x_0|<\delta_(epsilonk) \Rightarrow |f(x) - l|
così mi sembra funzionare perché a priori scelgo $epsilonk=epsilon'$:
$forall epsilon' : 0<|x - x_0|<\delta_(epsilonk) \Rightarrow |f(x) - l| , però mi sembra scontrarsi con l'altra lettura della faccenda (che scrivevo all'inizio del messaggio), ossia che se io parto da un $epsilon$ epoi controllo la funzione se si distanza dal valore l per un intorno $epsilonk$ io di fatto sto guardando un valore più grande di raggio e sta cosa mi stona un sacco.

Qualcuno saprebbe aiutarmi?

[Mephlip]

Da come l'ho interpretata io (in particolare quando dici verso la fine: "Raggio più grande") , sembra che tu ritenga che gli \(\varepsilon\) siano gli stessi in entrambe le situazioni. Non sono gli stessi: è probabilmente questo che ti confonde. In termini intuitivi, devi pensare il tutto in termini di: "Stare in strisce centrate in \(l\) e di semiampiezze arbitrarie".

Quello che molto probabilmente il tuo professore sta dando per scontato è che le definizioni di limite da te riportate sono equivalenti. Ossia, se assumi vera la prima segue la seconda e viceversa.

Per comodità, denoto \(D_a:=\text{dom}(f) \cap \left((x_0-\delta_a,x_0+\delta_a)\setminus\{x_0\}\right)\). Metterò poi degli apici a \(D_a\) che hanno un evidente significato su \(\delta\).

Supponiamo che per ogni \(\varepsilon>0\) esista \(\delta_{\varepsilon}>0\) tale che per ogni \(x\in\mathbb{R}\), se \(x \in \ D_{\varepsilon}\) allora \(|f(x)-l|<\varepsilon\). Fissato \(k>0\), sia ora \(\sigma>0\) arbitrario fissato. Per l'arbitrarietà di \(\varepsilon\), esiste \(\delta_{k\sigma}=:\delta'_{\sigma}>0\) tale che per ogni \(x\in\mathbb{R}\), se \(x \in D_{k\sigma}^{'}\) allora \(|f(x)-l|0\), ciò vale per ogni \(\sigma>0\). Questa è la implicazione destra.

Supponiamo ora esista \(k>0\) tale che che per ogni \(\sigma>0\) esista \(\delta_{\sigma}>0\) tale che per ogni \(x\in\mathbb{R}\), se \(x \in \ D_{\sigma}\) allora \(|f(x)-l|0\) arbitrario fissato. Per l'arbitrarietà di \(\sigma>0\), esiste \(\delta_{\varepsilon/k}=:\delta''_{\varepsilon}\) tale che per ogni \(x\in\mathbb{R}\), se \(x\in D_{\varepsilon}^{''}\) allora \(|f(x)-l|0\), ciò vale per ogni \(\varepsilon>0\). Questa è la implicazione sinistra.

[gandolfo_m]

Grazie per il tuo prezioso aiuto e interesse alla domanda

Sì, credo il dubbio sia proprio lì, in effetti la dimostrazione che porti era quella che idealmente mi ero fatto (nel primo messaggio ho fatto solo l'implicazione =>). Però sebbene la dimostrazione mi sembri tutto sommato filare non riesco a capire perché funzioni intuitivamente (il busillis credo sia quello da te evidenziato che ritengo "fisso" espilon, ma non capisco perché non lo sia). Provo a eviscerare la questione:

Come dicevo abbiamo questa scrittura in molte dimostrazioni:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l|
L'idea è dimostrare la l'equivalenza con questa (quindi un <=>):

$\forall \varepsilon' > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon' $ (2)

Arrivo a quella con k a moltiplicare epsilon. Vediamolo esplicitamente:

a scanso di equivoci voglio qui mostrare (2)=>(1): $[\forall \varepsilon' > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon' ]$ $=>[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| l'altra non la svolgo perché non è qui il dubbio

parto da per ogni $epsilon$ di (1), cioè l'antecedente della proposizione (1).
Siccome io ho nella (2) ossia la mia HP $forallepsilon'$, quindi una arbitrarietà, io posso scegliere $epsilon*k=epsilon''$ da cui discende per la (2) un $delta_(epsilonk)$ tale per cui $0<|x - x_0|<\delta_(epsilonk) \Rightarrow |f(x) - l| in sostanza è come se dicessi: scelgo $epsilonk=epsilon''$:
$forall epsilon'' : 0<|x - x_0|<\delta_(epsilon'') \Rightarrow |f(x) - l| mi pare giusto no? Mi preme capire se ho detto fesserie

(l'altra parte <= è evidente e semplice come questa). Vista così vale il se e solo se e sono a posto.

Però io mi dico anche (e qui sbaglio ma non capisco dove) se io scrivo $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| E non capisco perché non sia giusta questa lettura, cioè come dedurre da (**) che io posso ristabilire un $epsilon''=epsilon*k$ non so se ho spiegato bene...

nella proposizione dimostrata lo vedo che funziona, però se leggo la (**) a me sembra dire: fissato $epsilon$ mi va bene se trovo un $epsilon''$ più grande per cui f(x)-l cade all'interno e questo è comunque un limite. Ma nell'idea il limite dovrebbe stringersi in un intorno di raggio strettamente più piccolo di epsilon inizialmente scelto.

Per farla breve: la dimostrazione la capisco (se come dicevo nella domanda in grassetto che ti chiedo sopra è corretto) come si fa e mi torna, però mi sembra anche di poter leggere quella proposizione nel modo esplicitato e quindi che quella proposizione ammetta casi in cui l'intorno finale è più grande dell'espilon scelto. E non capisco perché non sia giusto leggerla così. Il dubbio quindi non è tanto dimostrativo ma di interpretazione di quella proposizione e non riesco proprio a capire perché sia errata.

[gandolfo_m]

ho corretto alcune cose, la versione attuale 14.33 dovrebbe essere ok , spero non avrai letto le precedenti

[Mephlip]

Forse non ti sto seguendo, dimmi se ho interpretato male il tuo dubbio e provo a rileggere quando ho un po' più di tempo: non mi torna questo dubbio sull'intorno "più grande" (come si suol intendere in senso insiemistico, quindi col significato di contenente). Non è necessariamente "più grande": ad esempio, se \(00\)), allora quando \(\varepsilon>0\) è \(k \varepsilon < \varepsilon\). Questa evenienza si riadatta, di volta in volta, grazie al fatto che stiamo lavorando con quantità generiche. Fammi sapere se sono stato d'aiuto, altrimenti dimmi pure se ho frainteso!

Comunque, la parte in grassetto secondo me è corretta (anche se mi sa che intendevi \(\varepsilon'\) a destra in \(k\varepsilon=\varepsilon ''\)).

[gandolfo_m]

In realtà mi piacerebbe chiederti due cose:
a) la prima è se la dimostrazione che facevo andasse bene (quella per =>), mi interessava capirlo per prendere un po' di destrezza con questi procedimenti. Se avrai tempo e voglia di darci un occhio

Per non farti leggere tutto il papirazzo metto qui il punto:

Siano le:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| $\forall \varepsilon' > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon' $ (2)

a scanso di equivoci voglio qui mostrare (2)=>(1): $[\forall \varepsilon' > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon' ]$ => $[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| l'altra <= non la svolgo perché non è qui il dubbio

parto da per ogni $epsilon$ di (1), cioè l'antecedente della proposizione (1).
Siccome io ho nella (2) ossia la mia HP $forallepsilon'$, quindi una arbitrarietà, io posso scegliere $epsilon*k=epsilon''$ da cui discende per la (2) un $delta_(epsilonk)$ tale per cui $0<|x - x_0|<\delta_(epsilonk) \Rightarrow |f(x) - l| in sostanza è come se dicessi: scelgo $epsilonk=epsilon''$:
$forall epsilon'' : 0<|x - x_0|<\delta_(epsilon'') \Rightarrow |f(x) - l| =>) mi pare giusto no? Mi preme capire se ho detto fesserie

b) la seconda questione era quella degli intorni, quello che dici l'ho capito ed è vero, ma proprio perché k arbitrario mettiamo sia k>1 da qui in poi, così tagliamo la testa al toro. Il punto dubbio rimane.
Come dicevo, a livello dimostrativo (ammesso e non concesso che ho fatto bene il punto a per cui attendo conferma) mi torna, io ho capito che:
$[\forall \varepsilon' > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon' ]$ $<=>[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l|
Il mio problema è proprio nel leggere la proposizione: $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l|

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[Mephlip]

La (a) è corretta secondo me: scrivila meglio, però. Rivedi la mia prima risposta.

(b) Provo a spiegarmi meglio: la proposizione che vuoi dimostrare tu è un'altra. È:\[
\left[\forall \varepsilon>0 \ \exists \delta_{\varepsilon} > 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \ \left(x \in D_{\varepsilon}\right) \implies \left(|f(x)-l| \]
\[
\implies \left[\forall \varepsilon'>0 \ \exists \delta_{\varepsilon'} > 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \ \left(x \in D_{\varepsilon'}\right) \implies \left(|f(x)-l|<\varepsilon'\right) \right]
\]
Quindi, l'interpretazione geometrica è la seguente: "Se per un opportuno \(\delta_\varepsilon\) stai in una striscia di semiampiezza verticale \(k\varepsilon\) per ogni \(\varepsilon>0\), allora per un altro opportuno \(\delta_{\varepsilon'}\) stai in ogni striscia di semiampiezza verticale \(\varepsilon'\)". Mi sembra che la tua interpretazione geometrica sia errata, perché è corrispondente a un'interpretazione del tipo: "Se per un opportuno \(\delta_\varepsilon\) sto in ogni striscia di semiampiezza \(k\varepsilon\), allora per un altro opportuno \(\delta_{\varepsilon'}\) sto in ogni striscia di semiampiezza \(\varepsilon'\)". Se ho interpretato correttamente la tua interpretazione geometrica, sono d'accordo che non ti torna con l'intuito: infatti, se leggi queste due frasi messe tra virgolette ti accorgi che sono due cose diverse. Invece, la proposizione ti dice che tu se stai in una striscia di semiampiezza \(k\varepsilon>0\) per ogni \(\varepsilon>0\), stai in ogni striscia di semiampiezza \(\varepsilon'\). Il motivo (che è poi la dimostrazione) è che, in virtù di questa arbitrarietà su \(\varepsilon>0\), puoi prendere \(\varepsilon>0\) sufficientemente piccolo da rendere irrilevante quel fattore \(k\) moltiplicativo e far collassare quindi tutto in una striscia di semiampiezza \(\varepsilon'>0\) con \(\varepsilon'>0\) prefissato arbitrario. Torna ora? In sostanza, tu fissi una soglia \(\varepsilon'>0\) ma, dato che per ipotesi stai sotto la soglia \(k\varepsilon>0\) per ogni \(\varepsilon>0\), sfrutti l'arbitrarietà di \(\varepsilon>0\) per rendere \(k\varepsilon<\varepsilon'\): qui non c'è alcun prefissato \(\varepsilon>0\), bensì c'è un prefissato \(\varepsilon'\) corrispondente alla conseguente dell'implicazione suddetta:

"Mephlip":\[
\left[\forall \varepsilon>0 \ \exists \delta_{\varepsilon} > 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \ \left(x \in D_{\varepsilon}\right) \implies \left(|f(x)-l| \]
\[
\implies \left[\forall \varepsilon'>0 \ \exists \delta_{\varepsilon'} > 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \ \left(x \in D_{\varepsilon'}\right) \implies \left(|f(x)-l|<\varepsilon'\right) \right]
\]

Spero di aver individuato il dubbio stavolta.

[gabriella127]

"gandolfo_m":

In principio è la arcinota
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $

Io l'ho sempre letta così: fisso un epsilon, dato un tale epsilon io trovo di conseguenza un delta, noto questo fissato epsilon e delta cioè che faccio è controllare se $x-x_0$ risulta dentro al raggio delta e se cio' implica che $|f(x) - l|$ è minore del raggio iniziale sono a cavallo e ho la definizione di limite verificata.

Tutto bello e idilliaco finché mi scontro con una dimostrazione in cui si arriva a:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| 0 in tal caso.

Ecco, quel k mi manda in crisi: perché ora la definizione par essere, fisso un epsilon, dato un tale epsilon io trovo di conseguenza un delta, noto questo fissato epsilon e delta cioè che faccio è controllare se $x-x_0$ risulta dentro al raggio delta e se cio' implica che $|f(x) - l|$ è minore del raggio moltiplicato per una costante k anche qusto verifica la definizione di limite. Bel problema perché a intuizione non mi trovo più: io seleziono un primo raggio di controllo $epsilon$ ma poi verifico che la funzione rispetta in fin dei conti: $|f(x) - l|

Provo a spiegarlo in maniera intuitivo-maccheronica, visto che quello che chiedi è l'intuizione. Se ho ben capito quello che dici, perché non sono riuscita a seguire tutta la discussione

Mi sembra che dai per scondato che il $\delta$ che consideri in corrispondenza del dato $\epsilon$ sia uguale nel primo e nel secondo caso, e non ti trovi.
No, possono essere due $\delta$ diversi.

Le due formulazioni sono formalmente diverse, questo è vero, nella prima vedi $\epsilon$ all'inizio e alla fine, nella seconda vedi $\epsilon$ all'inizio e $\k\epsilon$ alla fine: come ti ha detto Mephlip sono equivalenti.
Ma questo non significa che puoi 'trasportare' lo stesso $\delta$ dall'una all'altra, e anche questo lo vedi nella precedente risposta di Mephlip.

A esempio, se $k=3$, il secondo $\delta$ che scegli può essere maggiore, $x$ può stare più lontano da $x_0$, poiché richiediamo che $f(x)$ sia più lontano ($3\epsilon$ in vece di $\epsilon$) da $l$.

Ad essere meno maccheronici: secondo me un modo che può chiarire la questione intuitivamente è considerare la definizione di limite tramite gli intorni (scordiamoci al momento $\epsilon$ e $\delta$, che sono stati creati per torturare gli studenti [nota]Pare l'abbia inventata Weierstrass, ma nelle sue opere pubblicate non si trovano, pare che stia negli appunti di sue lezioni presi da suoi allievi: non li ha pubblicati perché se no je menavano [/nota]), puoi vedere anche https://it.wikipedia.org/wiki/Limite_di_una_funzione oppure https://www.dima.unige.it/~devito/Mat_A ... zioni3.pdf.

Definizione di limite con gli intorni. Data una funzione $f$ definita in $A$ bla bla bla...... si dice che $l$ è
limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se per ogni intorno $V$ di $l$ esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che
$x\in U\cap A, x≠ x_0 \Rightarrow f(x)\in V$.

La definizione con gli intorni e quella con $\epsilon-\delta$ sono equivalenti (parliamo ora di $\mathbb{R}$, ovviamente), ma in quella con gli intorni vedi che possono essere intorni quasiasi.
Non solo non c'è necessariamente un $\epsilon$ tale e quale (senza $k$) all'inizio e alla fine della definizione, ma gli intorni non devono nemmeno essere intervalli simmetrici rispetto a $x_0$ o $l$, possono essere qualsiasi: un intorno di un punto $x$ in $\mathbb{R}$ (con la distanza consueta del valore assoluto) è semplicemente un qualsiasi intervallo aperto $(a,b)$ che contiene $x$, non è che $x$ deve stare al centro.

È sufficiente intuitivamente questa idea di 'vicinanza' (espressa topologicamente con la nozione di intorno, senza aggrovigliarsi negli $\epsilon$ e nei $\delta$): se $x$ è 'abbastanza vicino' a $x_0$, allora $f(x)$ è 'abbastanza vicino' a $l$.

Le tue formulazioni con $\epsilon$ e $k\epsilon$ li puoi vedere come casi particolari di questa definizione con gli intorni.

[gandolfo_m]

Grazie mille ad etrambi:

@gabriella: grazie per la tua visione più ampia che credo di aver capito bene con la tua spiegazione assieme al pdf di dima. Molto chiaro e interessantissima come visione superiore di questi concetti.

@mephlip: quello che scrivi mi sembra coerente e il punto dubbio risiede proprio in queste cose. le formule da te scritte reinterpretate in modo intuitivo/geometrico mi sono chiare però mi sembrano i passi della dimostrazione. Intendo dire che la proposizione da te scritta in formule è proprio una delle due implicazioni.

Direi che ormai ci siamo quasi sul dubbio ma credo di aver peccato in chiarezza oppure è talmente stupido che non riesco bene a farlo capire, ma credo sia solo un problema di leggere la proposizione logica in via geometrica.
PEr spiegarmi meglio provo a usare la classica definizione e poi usare la scrittura che mi crea il dubbio:

1) definizione di limite e interpretazione classica
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $
fin dalle superiori viene esposta la lettura di questa proposizione logico/matematica come:
per ogni epsilon, quindi fisso una epsilon sulle ordinate, si proietta questo intorno sulla funzione con due righe e si tirano giù sulle ascisse nei punti di intersezione con la funzione, queste due rette verticali mi danno un possibile delta (dell'esiste un delta) che dipende da epsilon scelto. poi, in questo intorno di raggio delta scelgo una x, riproietto tale punto x in su sulla funzione e dal punto di intersezione tra la retta verticale e la funzione traccio una retta parallela alle x e la porto su y (ho così f(x)) e cosa succede? beh succede che la f(x) la trovo dentro l'intorno con la epsilon iniziale e quindi questo disegno verifica l'implicazione: è un limite.
Questa è la riscrittura geometrica di quella proposizione logica.

2) seconda formula che non riesco a capire graficamente
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| Mi chiedo: come leggo geometricamente 'sta cosa? Mi rispondo: beh si fa il verso a quanto sopra e sfrutto lo stesso procedimento:
per ogni epsilon, quindi fisso una epsilon sulle ordinate, si proietta questo intorno sulla funzione con due righe e si tirano giù sulle ascisse nei punti di intersezione con la funzione, queste due rette verticali mi danno un $delta_epsilon$ (io so che esiste un delta e scelgo questo particolare). Poi, in questo intorno di raggio delta scelgo una x, riproietto tale punto x in su sulla funzione e dal punto di intersezione tra la retta verticale e la funzione traccio una retta parallela alle x e la porto su y (ho così f(x)). A questo punto mi manca di leggere la parte $\Rightarrow |f(x) - l|

oss: è scelta molto patologica per riuscire ad avere intorni comodi con proiezioni ma è pur sempre una funzione

E qui mi dico ohibò ma questo non rispetta più la definizione 1).
Insomma, la lettura geometrica che rispetta l'implicazione 2) (perché è dentro il raggio $k epsilon$ la f(x)) sembra non rispettare più la definizione 1) essendo oltre epsilon e quindi non è un limite. E qui la mia intuizione vacilla

Più chiara la mia idiozia?
grazie ragazzi!

[Mephlip]

Prego! Secondo me stai confondendo cosa significa dimostrare che vale la definizione di limite con cosa significa invece che essa è vera per ipotesi. Per dimostrare che vale la definizione di limite (ma anche qualsiasi proposizione comprenda un quantificatore universale), si procede come dici tu: si considera un \(\varepsilon>0\) generico prefissato e si mostra l'esistenza di \(\delta_\varepsilon>0\) tale che eccetera. Ma se tu la definizione di di limite la prendi per vera (come in questo caso, riguarda il box in cui mi cito da solo: l'antecedente è tutta la definizione di limite che si assume vera per ipotesi) non devi seguire quel tipo di struttura logica su \(\varepsilon\) ma devi seguirla solo su \(\varepsilon'\) perché è solo quest'ultimo quello che hai prefissato prima e per il quale vuoi trovare in in corrispondenza un \(\delta'\). Poi, dall'ipotesi sai che puoi usare la definizione di limite con \(k\varepsilon\) per ogni \(\varepsilon>0\); quindi, relativamente a tale definizione, non devi prefissare nulla e trovare nulla in corrispondenza. Tu ora sai che la definizione con \(k\varepsilon\) è vera, quindi sai che hai libertà su quel quantificatore universale e da ciò dedurre (stavolta prefissando \(\varepsilon'>0\) che vale la definizione con \(\varepsilon'\): se torni su alla mia prima risposta, vedi che faccio esattamente questo.

Se ti è chiaro questo fatto, ti sarà chiaro che puoi rifare lo stesso disegno, ma con anche con le rette orizzontali \(l-\varepsilon'\) ed \(l+\varepsilon'\) e, nel caso particolare \(\varepsilon=\varepsilon'/(2k\)), ti accorgi subito che funziona perché ti trovi nella striscia di semiampiezza \(\varepsilon'/2\) e quindi, in particolare, in quella di semiampiezza \(\varepsilon'\).

[gandolfo_m]

Ho cancellato la mia risposta perché avevo fatto pasticci, ho riveduto e corretto tutto
Dò per assodato che chiamo

1) $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $

2) $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l|

Stai confondendo cosa significa dimostrare che vale la definizione di limite con cosa significa invece che essa è vera per ipotesi.

Ok, mettiamola così: il punto 1) del mio precedente messaggio è la lettura della proposizione 1) e una "dimostrazione" per via geometrica della definizione di limite. E fin qui mi è chiaro.

l'antecedente è tutta la definizione di limite che si assume vera per ipotesi
[...]
non devi seguire quel tipo di struttura logica su ε ma devi seguirla solo su ε′ perché è solo quest'ultimo quello che hai prefissato prima e per il quale vuoi trovare in in corrispondenza un δ′. Poi, dall'ipotesi sai che puoi usare la definizione di limite con kε per ogni ε>0; quindi, relativamente a tale definizione, non devi prefissare nulla e trovare nulla in corrispondenza. Tu ora sai che la definizione con kε è vera, quindi sai che hai libertà su quel quantificatore universale e da ciò dedurre (stavolta prefissando ε′>0 che vale la definizione con ε′: se torni su alla mia prima risposta, vedi che faccio esattamente questo.

Questo è un altro discorso, certamente sì.
In questo discorso prendi per HP vera la definizione di limite e mostri che vale la mia proposizione 2) del precedente ultimo mio post (cioè la proposizione con $epsilon k$). E anche qui mi pare ok.
Di fatto posso completare questa dimostrazione anche con la <= e ottengo un <=>: benissimo!

La differenza con dimostrazione di definizione di limite e questo procedimento in realtà mi è chiara.

Tuttavia, forse sbaglio, però mi pare che il mio dubbio risieda altrove
Io volevo solo leggere geometricamente le due proposizioni: la 1) e la 2) (non quella del tuo box), in modo separato come ho fatto nel mio ultimo messaggio. Però facendo così, guardando la 2) con il relativo disegno mi sembra che ciò che rende vera la 2) poi non rende più vera la 1) [impasse!].
Ed è qui che mi incastro, perché dato che ho dimostrato che 2) <=> 1) con la dimostrazione che mi è chiara non riesco poi a capire perché mi trovo in questo impasse. Provo a spiegare meglio cosa intendo:

Se il grafico che rispetta la 1) andando a leggerla in quel modo da me fatto nell'ultimo messaggio (come qui in nota)[nota]

1) definizione di limite e interpretazione classica
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $
fin dalle superiori viene esposta la lettura di questa proposizione logico/matematica come:
per ogni epsilon, quindi fisso una epsilon sulle ordinate, si proietta questo intorno sulla funzione con due righe e si tirano giù sulle ascisse nei punti di intersezione con la funzione, queste due rette verticali mi danno un possibile delta (dell'esiste un delta) che dipende da epsilon scelto. poi, in questo intorno di raggio delta scelgo una x, riproietto tale punto x in su sulla funzione e dal punto di intersezione tra la retta verticale e la funzione traccio una retta parallela alle x e la porto su y (ho così f(x)) e cosa succede? beh succede che la f(x) la trovo dentro l'intorno con la epsilon iniziale e quindi questo disegno verifica l'implicazione: è un limite.
Questa è la riscrittura geometrica di quella proposizione logica.

[/nota] (cioè nel modo in quella che tu chiami "dimostrazione della definizione di limite"), la 2) che strutturalmente è identica-identica non dovrei leggerla nello stesso modo? Cioè non capisco perché la mia lettura 2) sia errata!

per intenderci:

2) seconda formula che non riesco a capire graficamente
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| Mi chiedo: come leggo geometricamente 'sta cosa? Mi rispondo: beh si fa il verso a quanto sopra e sfrutto lo stesso procedimento:
per ogni epsilon, quindi fisso una epsilon sulle ordinate, si proietta questo intorno sulla funzione con due righe e si tirano giù sulle ascisse nei punti di intersezione con la funzione, queste due rette verticali mi danno un $delta_epsilon$ (io so che esiste un delta e scelgo questo particolare). Poi, in questo intorno di raggio delta scelgo una x, riproietto tale punto x in su sulla funzione e dal punto di intersezione tra la retta verticale e la funzione traccio una retta parallela alle x e la porto su y (ho così f(x)). A questo punto mi manca di leggere la parte $\Rightarrow |f(x) - l|

oss: è scelta molto patologica per riuscire ad avere intorni comodi con proiezioni ma è pur sempre una funzione

E qui mi dico ohibò ma questo non rispetta più la definizione 1).
Insomma, la lettura geometrica che rispetta l'implicazione 2) (perché è dentro il raggio $k epsilon$ la f(x)) sembra non rispettare più la definizione 1) essendo oltre epsilon e quindi non è un limite. E qui la mia intuizione vacilla

questo mi sembra spiccicato al procedimento con cui leggo la proposizione 1), e non vedo perché sfruttando la lettura come faccio in 1) sulla 2) poi non mi renda vera la definizione di limite. E' qua che mi intorto.

Riassumendo tutto questo in poche parole forse piu chiare...
Analizzando:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| mi sembra proprio dire: fissa epsilon, trovi delta, riporti la x dentro al controllo con delta in f(x) e confronti con $|f(x) - l|$ con $k*\varepsilon $, funziona? sì: bene quel grafico disegnato rende vera questa proposizione. stop.
(per inciso questa lettura è la stessa che sfrutto per leggere la proposizione 1), ho applicato lo stesso "metodo")

Fin qui abbiamo che il grafico disegnato rende vera la definizione 2)

Passo successivo: detto ciò, avendo dimostrato (come hai fatto tu nel tuo post iniziale) che se questa proposizione è vera => è vera anche quella di limite (e viceversa, ripeto era un se e solo se), allora dovrebbe essere identica ad essa; quindi se il grafico disegnato rispetta la 2) e considero in aggiunta il fatto che ho dimostrato che 1) <=> 2) allora concludo che tale grafico deve per forza di cose rispettare anche la lettura geometrica della proposizione 1). Ma se noti $|f(x) - l|>epsilon$. problema! non rispetta la 1), no?

[gabriella127]

"gandolfo_m":

2) seconda formula che non riesco a capire graficamente
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| Mi chiedo: come leggo geometricamente 'sta cosa? Mi rispondo: beh si fa il verso a quanto sopra e sfrutto lo stesso procedimento:
per ogni epsilon, quindi fisso una epsilon sulle ordinate, si proietta questo intorno sulla funzione con due righe e si tirano giù sulle ascisse nei punti di intersezione con la funzione, queste due rette verticali mi danno un $delta_epsilon$ (io so che esiste un delta e scelgo questo particolare). Poi, in questo intorno di raggio delta scelgo una x, riproietto tale punto x in su sulla funzione e dal punto di intersezione tra la retta verticale e la funzione traccio una retta parallela alle x e la porto su y (ho così f(x)). A questo punto mi manca di leggere la parte $\Rightarrow |f(x) - l|

oss: è scelta molto patologica per riuscire ad avere intorni comodi con proiezioni ma è pur sempre una funzione

E qui mi dico ohibò ma questo non rispetta più la definizione 1).
Insomma, la lettura geometrica che rispetta l'implicazione 2) (perché è dentro il raggio $k epsilon$ la f(x)) sembra non rispettare più la definizione 1) essendo oltre epsilon e quindi non è un limite. E qui la mia intuizione vacilla

Vediamo se riesco a cogliere il tuo dubbio riguardante questa parte geometrica.

Secondo me il discorso è sempre quello che avevo scritto nel mio post precedente: tu vuoi prendere un $\delta$ che va bene per questa seconda definizione, quella con $k\epsilon$, e pretendi che vada bene anche per la prima, quella con $\epsilon$ e basta.

Mi sembra che è questo che fai nella figura: prendi un $\delta$ con questo metodo geometrico, e vedi che va bene per il caso $k\epsilon$ e poi dici: "Ohibò, però per il caso con solo $\epsilon$, questo $\delta$ non va bene! Quindi la definizione di limite numero 1), quella che mi hanno dato in primis, non è rispettata!

E certo, dovevi prendere nel caso 1), con solo $\epsilon$, un altro $\delta$ (là, come dire, 'stai più stretto' se $k>1$).

La definizione (sia la 1 che la 2) ti dice:"Esiste un delta", quindi "Dato l'$\epsilon$, vattene a cercare uno, di $\delta$, che va bene, se esiste uno lo trovi. Non ti dice "Prendi un delta della definizione 2) e usa quello nella definizione 1), che deve andare bene lo stesso."

Insomma, non devi travasare i $\delta$ da un caso all'altro, li devi guardare separatamente.

O usi la definizione 1) o usi la definizione 2), dato che sono equivalenti, ma non devi mescolare le due.

[Mephlip]

Scusa se mi ostino, ma continuo a sospettare che il tuo dubbio geometrico sia in realtà una conseguenza di una non completa comprensione della situazione dal punto di vista logico: al netto del fatto che, con la notazione "più chiara" in cui distinguiamo con un apice gli epsilon della prima e seconda proposizione (e quindi nel disegno dovresti riportare le rette \(l \pm \varepsilon'\) e non \(l \pm \varepsilon\)), il disegno non confuta nulla (neanche intuitivamente/geometricamente) perché, non avendo tu in esso usato l'arbitrarietà di \(\varepsilon\) (in quanto riporti le rette \(l \pm k\varepsilon\) e quindi \(\varepsilon\) ancora non lo hai scelto), geometricamente quel disegno corrisponde a una "fase antecedente" della dimostrazione (algebrica o geometrica che sia) in cui ancora non hai sfruttato l'ipotesi e quindi, non avendola conclusa, certo che non dimostra nulla e che quindi non ti torna neanche graficamente. Il ragionamento grafico che dovrebbe convincerti è il seguente:

Passo \(1\): fisso \(\varepsilon'>0\) e considero le rette orizzontali \(l \pm \varepsilon'\). Voglio trovare un \(\delta_{\varepsilon'}>0\) tale che se \(x\) sta nell'intervallo di centro \(x_0\) e semiampiezza \(\delta_{\varepsilon'}\) il grafico di \(f\) sta nella striscia orizzontale di semiampiezza \(\varepsilon'>0\) e centro \(l \in \mathbb{R}\).

Passo \(2\): so che è vero per ipotesi che sto nella striscia di semiampiezza \(k\varepsilon\) per ogni \(\varepsilon>0\) per un certo \(\delta_{\varepsilon}>0\) . In linea generale, ho pure dei valori di scelta di \(\varepsilon\) che mi mandano non nessariamente dentro la striscia di semiampiezza \(\varepsilon'\) (ad esempio, per \(\varepsilon=(\varepsilon'+1)/k\)).

Passo \(3\): mi accorgo che, essendo la definizione relativa a \(k\varepsilon>0\) vera per ogni \(\varepsilon>0\), graficamente ciò significa che posso restringere quanto voglio la striscia di centro \(l\) in cui sto (intuitivamente perché non importa quanto il fattore \(k\) nel prodotto \(k\varepsilon\) sia grande, l'arbitrarietà di \(\varepsilon\) mi permette di farlo collassare quanto voglio). Quindi, la restringo opportunamente affinché io cada in quella di semiampiezza \(\varepsilon'\) per un certo altro \(\delta_{\varepsilon'}:=\delta_{\varepsilon'/k}\). Fine.

Io, geometricamente, la vedo così. Ti torna? Non ti preoccupare se ancora non ti torna, non ci disturbi assolutamente se continui ad avere dubbi! Potrei aver sbagliato qualcosa io nell'esposizione nel risponderti. Se ti torna, ottimo: dovrebbe così tornarti anche quello che succede con l'altra implicazione.

[gandolfo_m]

@gabriella127: Cavolo, ho visto che non è rimasta salvata la mia risposta a gabriella ma nel frattempo ha risposto mephlip già. Provvedo quindi a leggere la tua risposta e nel frattempo aggiungo il messaggio che cronologicamente andava prima ma non so come e perché non mi ero accorto non avesse salvato su server

(copio incollo, fortuna avevo lasciato la pagina aperta con la modifica o mi sarei sparato XD)

Uhm sai che forse ho capito ora che mi ci fai riflettere meglio, vediamo se mi dai conferma ma mi sa che mi ero incartato in una cavolata nel ragionamento che facevo qui

"gandolfo_m":
Riassumendo tutto questo in poche parole forse piu chiare...
Analizzando:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| mi sembra proprio dire: fissa epsilon, trovi delta, riporti la x dentro al controllo con delta in f(x) e confronti con $|f(x) - l|$ con $k*\varepsilon $, funziona? sì: bene quel grafico disegnato rende vera questa proposizione. stop.
(per inciso questa lettura è la stessa che sfrutto per leggere la proposizione 1), ho applicato lo stesso "metodo")

Fin qui abbiamo che il grafico disegnato rende vera la definizione 2)

Passo successivo: detto ciò, avendo dimostrato (come hai fatto tu nel tuo post iniziale) che se questa proposizione è vera => è vera anche quella di limite (e viceversa, ripeto era un se e solo se), allora dovrebbe essere identica ad essa; quindi se il grafico disegnato rispetta la 2) e considero in aggiunta il fatto che ho dimostrato che 1) <=> 2) allora concludo che tale grafico deve per forza di cose rispettare anche la lettura geometrica della proposizione 1). Ma se noti $|f(x) - l|>epsilon$. problema! non rispetta la 1), no?

Siano

1) $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $

2) $\forall \sigma > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l|
Il problema di questo ragionamento che avevo svolto è che in effetti, scelto il sigma (cambio nome perché confonde meno sull'esposizione usare sigma e epsilon distinti) avevo ragione sul fatto che graficamente la 2) (si legga quote in che modo) non rispetta la definizione 1) ma con un caveat, ossia non rispetta la 1) senza andare ad usare il per ogni epsilon, io infatti usavo sbagliando lo stesso $epsilon=sigma$ (e qui era il mio errore). mentre dato che ho "per ogni" nella 1) succede quanto segue:
parto dalla 2) imposto il mio sigma nella 2) trovo il $delta_(ksigma)$ come in figura per cui vale il fatto che $|f(x)-l|$ stia nel relativo intorno di raggio $ksigma$, proprio per via del per ogni $epsilon$ in 1) posso qui riadattarlo e assumo $epsilon=ksigma$ e in questo epsilon riadattato in effetti rientra il valore di f(x).

il confronto errato tra 1) e 2) sorgeva proprio in questo punto: prendevo la definizione 1) moncata del "per ogni" e quindi non sfruttavo l'epsilon riadattato come $epsilon=k sigma$.

Che ne pensate? mi sembra tornare.


@mephlip: ho letto molto attentamente e ho capito quello che dici tu, però quella è la dimostrazione grafica di come valga la definizione di limite sfruttando l'ipotesi dell'intorno $k epsilon$ (cioè mi mostra che posso far funzionare la definizione classica di limite assumendo per ipotesi la 2) ). Il mio dubbio invece soggiaceva nel leggere la definizione 2) e poi raffrontarla con la definizione 1) e non capire perché uscissi dall'intorno dato dalla definizione 1). Forse sbaglio ma mi sembrava un poco diverso. Ma forse sono solo orbo io e non ho capito quanto sto dicendo io stesso .

[gabriella127]

"gandolfo_m":
(copio incollo, fortuna avevo lasciato la pagina aperta con la modifica o mi sarei sparato XD)

Uhm sai che forse ho capito ora che mi ci fai riflettere meglio, vediamo se mi dai conferma ma mi sa che mi ero incartato in una cavolata nel ragionamento che facevo qui[\quote]

[quote="gandolfo_m"]

1) $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $

2) $\forall \sigma > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l|
Il problema di questo ragionamento che avevo svolto è che in effetti, scelto il sigma (cambio nome perché confonde meno sull'esposizione usare sigma e epsilon distinti) avevo ragione sul fatto che graficamente la 2) (si legga quote in che modo) non rispetta la definizione 1) ma con un caveat, ossia non rispetta la 1) senza andare ad usare il per ogni epsilon, io infatti usavo sbagliando lo stesso $epsilon=sigma$ (e qui era il mio errore). mentre dato che ho "per ogni" nella 1) succede quanto segue:
parto dalla 2) imposto il mio sigma nella 2) trovo il $delta_(ksigma)$ come in figura per cui vale il fatto che $|f(x)-l|$ stia nel relativo intorno di raggio $ksigma$, proprio per via del per ogni $epsilon$ in 1) posso qui riadattarlo e assumo $epsilon=ksigma$ e in questo epsilon riadattato in effetti rientra il valore di f(x).

il confronto errato tra 1) e 2) sorgeva proprio in questo punto: prendevo la definizione 1) moncata del "per ogni" e quindi non sfruttavo l'epsilon riadattato come $epsilon=k sigma$.

[/quote]

Stai parlando con me o con Mephlip? Gli $\epsilon-\delta$ danno alla testa , sto andando in confusione.

Comunque ora ho capito perfettamente il tuo dubbio e quello che ora dici, sono d'accordo. Hai fatto bene a scrivere $\sigma$ così c'è meno confusione tra le due definizioni, e le vedi distinte.

Tu, quando andavi a prendere la 'fascia' nel caso $k\epsilon$ la prendevi 'troppo stretta', prendevi solo $epsilon$, non il $\sigma=k\epsilon$.
In sostanza il punto è sempre quello, detto terra terra: non puoi trasportare gli $\epsilon$ e i $\delta$ da una definizione all'altra tali e quali.

Non dico altro se no riconfondo le cose, penso che ora hai chiarito.

Detto tra noi, questo sistema grafico non mi entusiasma (mi pare anche che con funzioni discontinue può dare risultati bizzarri), secondo me confonde più che chiarire.
Sarà che io non ho fatto niente di matematica al liceo, e non l'avevo visto. Aver fatto $0$ di matematica al liceo mi ha dato il vantaggio di arrivare alla matematica universitaria come asino totale, ma un grosso asino, cosa che però dà il vantaggio di non avere idee scolastiche preconcette (non parlo di te, eh? dico in generale).

Ad esempio, con funzione discontinua:



Ok, hai preso un $\epsilon$ a piacere, disegni le rette parallele all'asse delle $x$, per avere la fascia, e do' vai? Le rette non incontrano il grafico della funzione.

Ed è solo un esempio, ma fermo qui la divagazione.

[gandolfo_m]

In realtà rispondevo a te (gabriella), cioè la risposta era frutto del tuo suggerimento sopra. Poi ho cliccato invio, ero convinto avesse salvato e sono uscito senza guardare oltre. Rientrato ho visto che c'era già una seconda risposta di mephlip e non quella che avevo creato io. Per fortuna avevo il browser aprendo le ultime schede manteneva ciò che avevo scritto e così ho copiato e incollato il messaggio originale, poi ho letto la risposta di mephlip ed editato sotto con una risposta per lui. Vabbé insomma, un pasticcio .

Tu, quando andavi a prendere la 'fascia' nel caso kε la prendevi 'troppo stretta', prendevi solo ε, non il σ=kε.

Eh si, e soprattutto non sfruttavo il "per ogni" della prima definizione. Quindi mi limitavo solo a dire non funziona per $sigma=epsilon$, ma proprio in forza al per ogni potevo ri-settarlo per mostrare che funzionava.

Però si, direi che ormai ci siamo. Soprattuto grazie a te (voi) perché il tuo spunto è stato fondamentale per permettermi di capire. Hai detto una parola che mi ha acceso la lampadina e ti ringrazio di cuore per avermi tolto da un mega-dubbio. Mi sento più leggero

Per quanto riguarda il tuo grafico, esatto è un altro esempio carino del mostrare che sfruttare i delta proiettati dagli epsilon scelti sulle ordinate non è sempre sensato. E' intuitivo ma non "correttissimo", dato che il delta puoi sceglierlo tu, basta che esista. Sempre se ho ben capito il tuo spunto .

[gabriella127]

"gandolfo_m": Mi sento più leggero

Contenta che ti abbiamo alleggerito

"gandolfo_m": Per quanto riguarda il tuo grafico, esatto è un altro esempio carino del mostrare che sfruttare i delta proiettati dagli epsilon scelti sulle ordinate non è sempre sensato. E' intuitivo ma non "correttissimo", dato che il delta puoi sceglierlo tu, basta che esista. Sempre se ho ben capito il tuo spunto .

Volevo solo dire di non prendere per oro colato quel metodo, che mi sembra solo un aiuto pratico per districarsi con gli epsilon etc., non un 'metodo' vero e proprio infallibile.