Domanda di teoria su $R^n$

[indovina]

La prof nelle prime due lezioni, è partita dalle definizioni di limite e ha definito le funzioni vettoriali. Dando per scontato, cosa succede nella struttura $R^n$ come d’altronde anche il libro. Però ce lo ha dato come esercizio per casa.

1 ) Definire la struttura di $R^n$
Io sono partito da cosa succedeva in $R$ e lo generalizzo, cioè:
Si definisce struttura di spazio vettoriale $R^n$ quando per ipotesi si prendono:

$x,y$ appartenenti ad $R^n$ dove $R^n=RxRxR………xR$ (per $n$ volte) e
$x=(x_1,x_2,………,x_n)$ e $y=(y_1,y_2,……….,y_n)$, si definiscono:
i)$(x,y)-> x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,……….,x_n+y_n)$ SOMMA
ii)$(x,y)-> x-y=(x_1-y_1,x_2-y_2,……….,x_n-y_n)$ DIFFERENZA
iii)$lambda$ (numero reale di $R$) $x->(lambda)*x=((lambda)*x_1),………,(lambda)_n*x_n)$ prodotto di uno scalare per un vettore.
iv) $x+y=y+x$ proprietà commutativa dell’addizione.
v) $(x+y)+z=x+(y+z)$ associativa dell’addizione
vi) Esistenza del vettore nullo.
vii)Esistenza dell’unità $x*1=x$
viii)Distributiva del prodotto: $a(b*x)=(a*b)*x$
ix)Distributiva del prodotto sull’addizione: $(a+b)*x=a*x+b*x$
x)Scalare moltiplicato per una somma: $b*(x+y)=b*x+b*y$
xi)Esistenza dell’opposto: $-y+y=0$
Dove $-y=(-y_1,-y_2,……….,-y_n)$

secondo voi va bene?

[gugo82]

Occhio, che $\mathbb{R}^N$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$; quindi non è correttissimo parlare di "esistenza dell'unità".

Per il resto, ok.

E comunque, che libro usi?

[indovina]

Ciao Gugo.
Marcellini-Sbordone. 'analisi 2' e davvero non c'è nulla.
Ciò che viene spiegato a lezione, sul libro c'è davvero poco. Anche tutte le proprietà sui limiti.

Per l'esistenza dell'unità, come potrei chiamarlo? 'prodotto di $x$ per uno scalare $lambda=1$?

[gugo82]

"clever":Marcellini-Sbordone. 'analisi 2' e davvero non c'è nulla.
Ciò che viene spiegato a lezione, sul libro c'è davvero poco. Anche tutte le proprietà sui limiti.

Prendi quello per i vecchi corsi di laurea; lascia stare quella schifezza ridotta che hanno stampato da poco.

E le proprietà dei limiti si ricavano per analogia dal caso di una sola variabile (basta sostituire il valore assoluto con la norma)... Prova a fare da solo.

P.S.: Chi ti fa il corso? [Se vuoi puoi non rispondere, o rispondere in PM.]

"clever":Per l'esistenza dell'unità, come potrei chiamarlo? 'prodotto di $x$ per uno scalare $lambda=1$?

Sì, meglio così secondo me.

[indovina]

Veramente il libro che ti ho citato, è la versione 'più lunga' se posso definirla cosi. Esiste un altro, appunto che si chiama 'elementi di analisi 2' e fa ancor più fuffa di quello che ha preso la maggior parte dei miei colleghi.
Per il nome, ti manderò un pm.
Ora mando gli esercizi che ho fatto sugli argomenti spiegati.
Grazie per la comprensione.

P.S
Avresti un titolo di un testo di analisi 2, degno di nota?