Domanda di teoria riguardante le serie numeriche
Buongiorno a tutti, sto studiandomi per benino la teoria riguardante le serie numeriche ed il mio libro di riferimento è il Canuto-Tabacco, che è il libro consigliato dal docente e su cui s basa il programma svolto in aula.
Stavo risolvendo la seguente serie : $ sum_(k=0)^(oo )(3/(2k^2+1)) $
Ho provato prima a risolverla col criterio del rapporto, ma ho ottenuto il valore 1. Ho provato quindi il criterio del confronto asintotico facendo $ lim_(k->oo)(3/(2k^2+1))/(1/k^2) $ per verificare se le due successioni fossero mai equigrandi, ed ho ottenuto il valore $ 3/2 $ che mi garantisce che le due serie hanno lo stesso comportamento.
Ora, non mi ricordavo a memoria la divergenza e la convergenza della serie armonica così mi son rivisto la teoria.
Cito il Canuto-Tabacco:
"La serie armonica generalizzata diverge per $ 02 $, il caso $ 1
Ma sbaglio o secondo quanto scritto viene escluso il caso $ alpha=2 $? Anche perchè guardando da altre parti semplicemente si afferma che la serie armonica converge per $ alpha>1 $ e diverge per $ alpha<=1$ . Lo so che non è una vera e propria domanda ma spero si sia capito il mio dilemma. In pratica, sfruttando semplicemente la definizione del libro, non riesco a risolvere questa banalissima serie armonica.
P.S.
So benissimo che converge, il mio è un problema puramente formale che riguarda la definizione della serie stessa.
Stavo risolvendo la seguente serie : $ sum_(k=0)^(oo )(3/(2k^2+1)) $
Ho provato prima a risolverla col criterio del rapporto, ma ho ottenuto il valore 1. Ho provato quindi il criterio del confronto asintotico facendo $ lim_(k->oo)(3/(2k^2+1))/(1/k^2) $ per verificare se le due successioni fossero mai equigrandi, ed ho ottenuto il valore $ 3/2 $ che mi garantisce che le due serie hanno lo stesso comportamento.
Ora, non mi ricordavo a memoria la divergenza e la convergenza della serie armonica così mi son rivisto la teoria.
Cito il Canuto-Tabacco:
"La serie armonica generalizzata diverge per $ 0
Ma sbaglio o secondo quanto scritto viene escluso il caso $ alpha=2 $? Anche perchè guardando da altre parti semplicemente si afferma che la serie armonica converge per $ alpha>1 $ e diverge per $ alpha<=1$ . Lo so che non è una vera e propria domanda ma spero si sia capito il mio dilemma. In pratica, sfruttando semplicemente la definizione del libro, non riesco a risolvere questa banalissima serie armonica.
P.S.
So benissimo che converge, il mio è un problema puramente formale che riguarda la definizione della serie stessa.
Risposte
Eh, il docente usa quello ed i programma è riferito a quello, ergo uso quello.
Ciao Beppu95,
Propenderei per un semplice refuso di stampa, secondo me la frase corretta è la seguente:
"La serie armonica generalizzata diverge per $0<\alpha <=1 $ e converge per $\alpha >= 2$, il caso $1< \alpha <2 $ verrà studiato in seguito"
Non ci sono dubbi sul fatto che la serie proposta converga; anzi coi metodi dell'analisi complessa se ne può perfino determinare la somma, dato che si può dimostrare che per $a > 0 $ si ha:
$\sum_{k = 1}^{+\infty} 1/(k^2 + a^2) = \pi/(2a) coth(\pi a) - 1/(2a^2) \implies 1/a^2 + \sum_{k = 1}^{+\infty} 1/(k^2 + a^2) = \pi/(2a) coth(\pi a) + 1/(2a^2) \implies $
$\implies \sum_{k = 0}^{+\infty} 1/(k^2 + a^2) = \pi/(2a) coth(\pi a) + 1/(2a^2) $
Per la serie proposta $a = 1/sqrt2 $ per cui si ha:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty} (3/(2k^2+1)) = 3/2 \sum_{k = 0}^{+\infty} 1/(k^2+(1/sqrt2)^2) = 3/2 \cdot (\pi/sqrt2 coth(\pi/sqrt2) + 1) = $
$ = (3\pi)/(2 sqrt2) coth(\pi/sqrt2) + 3/2 = 3/4 (\sqrt2 \pi coth(\pi/sqrt2) + 2)$
"Beppu95":
"La serie armonica generalizzata diverge per $0<\alpha < 1 $ e converge per $\alpha >2$, il caso $1< \alpha <2 $ verrà studiato in seguito"
Propenderei per un semplice refuso di stampa, secondo me la frase corretta è la seguente:
"La serie armonica generalizzata diverge per $0<\alpha <=1 $ e converge per $\alpha >= 2$, il caso $1< \alpha <2 $ verrà studiato in seguito"
Non ci sono dubbi sul fatto che la serie proposta converga; anzi coi metodi dell'analisi complessa se ne può perfino determinare la somma, dato che si può dimostrare che per $a > 0 $ si ha:
$\sum_{k = 1}^{+\infty} 1/(k^2 + a^2) = \pi/(2a) coth(\pi a) - 1/(2a^2) \implies 1/a^2 + \sum_{k = 1}^{+\infty} 1/(k^2 + a^2) = \pi/(2a) coth(\pi a) + 1/(2a^2) \implies $
$\implies \sum_{k = 0}^{+\infty} 1/(k^2 + a^2) = \pi/(2a) coth(\pi a) + 1/(2a^2) $
Per la serie proposta $a = 1/sqrt2 $ per cui si ha:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty} (3/(2k^2+1)) = 3/2 \sum_{k = 0}^{+\infty} 1/(k^2+(1/sqrt2)^2) = 3/2 \cdot (\pi/sqrt2 coth(\pi/sqrt2) + 1) = $
$ = (3\pi)/(2 sqrt2) coth(\pi/sqrt2) + 3/2 = 3/4 (\sqrt2 \pi coth(\pi/sqrt2) + 2)$
Beh, vedila così, io mi considero un profano di matematica e sto cercando di impararla e per me il libro di testo è la bibbia, è la verità. Mi spiego meglio, voi sapete sicuramente meglio di me la differenza fra un maggiore o un maggiore/uguale e tutte le implicazioni dietro l'affermazione "tale valore è maggiore o maggiore/uguale a tale altro valore" di conseguenza per me è stato normale pormi il dubbio. Ripeto, quella serie che ho citato è una serie banalissima di cui so vita morte e miracoli e all'esame ovviamente l'avrei saputa risolvere, tuttavia cercavo di interpretarla secondo quanto scritto nel libro, non ci vedo nulla di male in questo.
"Beppu95":
mi considero un profano di matematica e sto cercando di impararla e per me il libro di testo è la bibbia, è la verità.
Beh, non esagerare: un po' di sano spirito critico, soprattutto quando si studia all'università, non guasta ed è (solitamente) apprezzato anche dai docenti. Che è probabilmente anche ciò che intendeva dirti arnett...
Segnalo inoltre che la serie proposta è a termini positivi per cui si poteva anche trovare facilmente una costante che la maggiora:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty}3/(2k^2+1) = 3 + \sum_{k = 1}^{+\infty}3/(2k^2+1) < 3 + \sum_{k = 1}^{+\infty}3/(2k^2) = 3 + 3/2 \sum_{k = 1}^{+\infty}1/(k^2) = 3 + 3/2 \cdot \pi^2/6 = 3 + \pi^2/4 < 11/2 $
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