Domanda di teoria: criterio degli integrali
Ripetendo il programma di analisi1, non riesco a trovare sul mio libro di testo ''criterio degli integrali'' per le serie numeriche, anche cercando fra gli appunti, non ho questo argomento.
Quindi la mia domanda è: cosa c'entrano gli integrali con le serie numeriche?
Quindi la mia domanda è: cosa c'entrano gli integrali con le serie numeriche?
Risposte
forse è rifeito alle serie tipo $\sum n^t$ la cui converg. è studiaa in rapporto a gli integrali su [1,+infin] delle funz. $x^t$
fammi sapere, saluti...............Holmes
fammi sapere, saluti...............Holmes
Perchè proprio in rapporto agli integrali su $(1,+oo)$ delle funzioni $x^t$, che poi non sarebbero tipo le funzioni esponenziali?
il criterio integrale per le serie io l'avevo scritto così sui miei appunti..
data $ sum a_k $ sia $ varphi(x) = a_k $, se esiste $ f(x): [1,+oo)-> RR $ tale che
$ 0 leq varphi(x) leq f(x) $ e $ int_(1)^(+oo) f(x)dx $ esiste finito
allora $ sum a_k $ converge
però non fidarti di me...sicuramente qualcuno mi correggerà!!
data $ sum a_k $ sia $ varphi(x) = a_k $, se esiste $ f(x): [1,+oo)-> RR $ tale che
$ 0 leq varphi(x) leq f(x) $ e $ int_(1)^(+oo) f(x)dx $ esiste finito
allora $ sum a_k $ converge
però non fidarti di me...sicuramente qualcuno mi correggerà!!
@pieerr: Quasi giusto, manca una ipotesi sulla $f$. Vedi https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#281710
@dissonance, cioè che la $f$ deve essere una successione di funzioni continue?
$f(x)$ monotona non crescente??
"pieerr":Giusto.
$f(x)$ monotona non crescente??
Perchè deve essere monotona non crescente?
Inoltre, esiste una dimostrazione per questo teorema?
Inoltre, esiste una dimostrazione per questo teorema?
"dissonance":Giusto.[/quote]
[quote="pieerr"]$f(x)$ monotona non crescente??
si ma quell'ipotesi mi sembrava inclusa in $ int_(n)^(+oo) f(x) < oo $ ...ma forse mi sbaglio..
senza la monotonia probabilmente non si riesce a dimostrare giusto??
No, pieerr, $int_0^infty f(x) < \infty$ non implica che $f$ sia monotona. Prendi, per esempio, $f(x)=(sinx)^2/(x^2)$ che è integrabile su $[0, infty)$ e non è monotona.
giusto...errore stupido..
"pieerr":Giusto.[/quote]
[quote="dissonance"][quote="pieerr"]$f(x)$ monotona non crescente??
si ma quell'ipotesi mi sembrava inclusa in $ int_(n)^(+oo) f(x) < oo $ ...ma forse mi sbaglio..
senza la monotonia probabilmente non si riesce a dimostrare giusto??[/quote]
non ho alcuna dimostrazione sul libro, non so se tu hai la dimostrazione sui tuoi appunti
prendi un intervallo $[k,k+1]$ , con $k >= 1$, poichè f è monotona hai
$f(k) leq f(t) leq f(k+1)$ $AA t in [k,k+1]$ ,integri facendo diventare:
$f(k) leq int_(k)^(k+1) f(t)dt leq f(k+1)$ ,poi sommi da 1 a n:
$ sum_(k = 1)^(n) f(k) leq int_(1)^(n+1) f(t)dt leq sum_(k=1)^(n) f(k+1) = sum_(k = 2)^(n+1) f(k) $
la prima e l'ultima serie per $k->+ oo$ convergono se converge anche l'integrale e viceversa
correggetemi se sbaglio..
$f(k) leq f(t) leq f(k+1)$ $AA t in [k,k+1]$ ,integri facendo diventare:
$f(k) leq int_(k)^(k+1) f(t)dt leq f(k+1)$ ,poi sommi da 1 a n:
$ sum_(k = 1)^(n) f(k) leq int_(1)^(n+1) f(t)dt leq sum_(k=1)^(n) f(k+1) = sum_(k = 2)^(n+1) f(k) $
la prima e l'ultima serie per $k->+ oo$ convergono se converge anche l'integrale e viceversa
correggetemi se sbaglio..
Perchè si ha alla fine $n+1$ e $k=2$ per $sum f(k)$?
"clever":
Perchè si ha alla fine $n+1$ e $k=2$ per $sum f(k)$?
Perchè ha semplicementre portato il terzo termine della disuguaglianza in una forma uguale al primo termine, così da poter dire che gli estremi dell' intervallo sono uguali, quindi hanno stesso limite..
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