Domanda di Geometria (luogo geometrico)

[Stas92]

Cerco di aiuto con geometria.. qualcuno sa come si fa questa domanda: Sono date le rette r :  x = z, 2x- 3y = 1 e-> s :  y = z, x + y = 1 . Determinare il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da r e s.
vi ringrazio tantissimo!!

[ciampax]

Di solito, per risolvere questo tipo di situazioni, bisogna un po' ragionare su ciò che hai. Osserva che la richiesta è la seguente: trovar tutti i punti di coordinate

[math]P(X,Y,Z)[/math]

per i quali sia abbia

[math]d(P,r)=d(P,s)[/math]

(con

[math]d[/math]

indico la distanza). Pertanto, il problema si riduce a capire questo: data una generica retta e un generico punto, come calcolo la loro distanza?

Ragioniamo un po': sappiamo che la distanza di un punto da una retta coincide con la lunghezza del segmento

[math]PH[/math]

ortogonale alla retta stessa. Una buona idea, allora, è quella di prendere il piano ortogonale alla retta data e che passa per il punto

[math]P[/math]

e, detta

[math]H[/math]

l'intersezione della retta e del piano così trovati, calcolare tale distanza. Vediamo di ricavare, pertanto, una regola generale a questo scopo.

Per prima cosa conviene sempre porre la retta in forma parametrica, al fine di semplificare le cose. Supponiamo quindi di avere la retta di equazione

[math]x=x_0+\alpha t,\quad y=y_0+\beta t,\quad y=y_0+\gamma t[/math]

e indichiamo con

[math]v=(\alpha,\beta,\gamma)[/math]

il suo vettore direzione. Ora, il piano ortogonale a tale retta e passante per il punto

[math]P(X,Y,Z)[/math]

avrà equazione

[math]v\bullet(Q-P)=0[/math]

essendo

[math]Q(x,y,z)[/math]

un punto variabile sul piano e

[math]\bullet[/math]

il prodotto scalare. In forma estesa si ha

[math]\alpha(x-X)+\beta(y-Y)+\gamma(z-Z)=0[/math]

(osserva che al momento suppongo siano note le coordinate X,Y,Z). Per determinare le coordinate del punto H basta mettere a sistema le equazioni del piano trovato e quelle della retta: osserva che se la retta è data con le equazioni cartesiane, ciò permette di evitare di calcolare anche il valore del parametro t. Fatto questo, si determinano le coordinate

[math]H(x_H,y_H,z_H)[/math]

del punto e si calcola la distanza voluta come

[math]d(P,r)=d(P,H)=\sqrt{(X-x_H)^2+(Y-y_H)^2+(Z-z_H)^2}[/math]

Prova a fare questo ragionamento sia per la retta r che per la retta s e uguagliare i due risultati: verrà fuori una equazione nelle incognite X,Y,Z che rappresenta il luogo cercato.

[davi02]

[math]A = (2, 1, 2)[/math]

,

[math]A’ = (5, 3, 5)[/math]

sono due punti di

[math]r[/math]

,

[math]v = A’ - A = (3, 2, 3)[/math]

è un vettore parallelo a

[math]r[/math]

.

[math]B = (0, 1, 1)[/math]

,

[math]B’ = (1, 1, 0)[/math]

sono due punti di

[math]s[/math]

,

[math]w = B’ - B = (1, 0, -1)[/math]

è un vettore parallelo a

[math]s[/math]

.

Sia

[math]P[/math]

un generico punto dello spazio.

La proiezione del vettore

[math]P - A[/math]

su

[math]r[/math]

è il vettore

[math] \frac{(P-A) \cdot v}{|v|^2} v [/math]

; per il teorema di Pitagora il quadrato della distanza di

[math]P[/math]

da

[math]r[/math]

è

[math]|P-A|^2 - \frac{((P-A) \cdot v)^2}{|v|^2}[/math]

.

Analogamente il quadrato della distanza di

[math]P[/math]

da

[math]s[/math]

è

[math]|P-B|^2 - \frac{((P-B) \cdot w)^2}{|w|^2}[/math]

.

Il luogo che cerchiamo ha equazione

[math]|P-A|^2 - \frac{((P-A) \cdot v)^2}{|v|^2} = |P-B|^2 - \frac{((P-B) \cdot w)^2}{|w|^2} [/math]

Introducendo le coordinate

[math]P = (x, y, z)[/math]

hai

[math](x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 - \frac{1}{22}(3x + 2y + 3z - 14)^2 =[/math]

[math]= x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 - \frac{1}{2}(x - z + 1)^2[/math]

che è l’equazione di duna quadrica (iperboide a una falda).

ciao