Domanda di esame 2
Un mio amico ha avuto questa domanda all'orale, ma non ha saputo rispondere.
Quale è la relazione che esiste tra successioni e punti di accumulazioni?
Io partirei dalle definizioni:
Una successione è una funzione avente come dominio tutto N+.
I punti di accumulazione sono quei punti che se si prende un intorno con quel punto compreso, si trovano infiniti punti dell'insieme considerato.
Ma come unire questi due concetti?
Grazie.
Quale è la relazione che esiste tra successioni e punti di accumulazioni?
Io partirei dalle definizioni:
Una successione è una funzione avente come dominio tutto N+.
I punti di accumulazione sono quei punti che se si prende un intorno con quel punto compreso, si trovano infiniti punti dell'insieme considerato.
Ma come unire questi due concetti?
Grazie.
Risposte
mettila come domanda non discussione!! ciao!
non lo so fare...qualcuno può dirmi qualcosa su questo argomento?
Prima di rispondere, qualcuno deve cambiare la discussione in domanda..
A me qui non funziona :)
A me qui non funziona :)
La relazione che esiste è il cosiddetto Teorema Ponte che afferma quanto segue:
Sia data una funzione
(limite finito o infinito, non importa) se per ogni successione
In parole povere, se per ogni successione
Osservazione: tale teorema è utile per scoprire quando una funzione non ha limite in un punto. Infatti, basta trovare due successioni diverse,
Sia data una funzione
[math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math]
e sia [math]x_0[/math]
un punto di accumulazione del dominio di tale funzione. Allora[math]\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=\ell[/math]
(limite finito o infinito, non importa) se per ogni successione
[math]\{a_n\}[/math]
tale che [math]\lim_{n\to+\infty}a_n=x_0[/math]
si ha[math]\lim_{n\to+\infty} f(a_n)=\ell[/math]
In parole povere, se per ogni successione
[math]\{a_n\}[/math]
la successione [math]\{b_n\}=f(a_n)[/math]
converge (o diverge) sempre al limite [math]\ell[/math]
.Osservazione: tale teorema è utile per scoprire quando una funzione non ha limite in un punto. Infatti, basta trovare due successioni diverse,
[math]a_n,\ a'_n[/math]
in modo che vengano fuori due limiti [math]\ell\neq \ell'[/math]
e questo, per l'unicità del limtie, non può essere possibile.
Perfetto Ciampax!
Ho sentito dire che il 'teorema ponte' sia una terminologia usata solo a roma e a napoli, ma è vera tale cosa?
Ho sentito dire che il 'teorema ponte' sia una terminologia usata solo a roma e a napoli, ma è vera tale cosa?
Boh... a me lo hanno sempre definito così. E anche io lo chiamo così. Credo in effetti che la terminologia sia dovuta a Gaetano Fichera, matematico Napoletano trapiantato a Roma-Sapienza. E visto che i mie docenti di analisi erano entrambi suoi allievi, è probabile che sia così!
Ecco perchè.
Comunque sempre per questo teorema, io lo prolungherei con un esempio significativo, quale quello del limite
Quindi prendo come esempio due successioni, e provo che hanno limiti diversi, e dunque la prova per la non-esistenza del limite.
Cosi potrei adottare lo stesso ragionamento per il
Comunque sempre per questo teorema, io lo prolungherei con un esempio significativo, quale quello del limite
[math](n->+oo)[/math]
di [math]sin(x)[/math]
non esiste.Quindi prendo come esempio due successioni, e provo che hanno limiti diversi, e dunque la prova per la non-esistenza del limite.
Cosi potrei adottare lo stesso ragionamento per il
[math]cos(x)[/math]
Sì, brava, quello è l'esempio classico che si usa. Le successioni, in entrambi i casi, sono
o varianti di queste.
[math]a_n=2n\pi,\quad b_n=\frac{\pi}{2}+2n\pi[/math]
o varianti di queste.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo