Domanda di analisi 2

[SalvatCpo]

Quando sappiamo che una funzione a tratti è definita con una certa formula per i punti diversi dall'origine, ed è nulla nell'origine, ciò è sufficiente per dire che nell'origine le derivate parziali sono tutte nulle?

O bisogna verificare ciò tramite la definizione di derivata parziale?

[dissonance]

"SalvatCpo":Quando sappiamo che una funzione a tratti è definita con una certa formula per i punti diversi dall'origine, ed è nulla nell'origine, ciò è sufficiente per dire che nell'origine le derivate parziali sono tutte nulle?

O bisogna verificare ciò tramite la definizione di derivata parziale?

Beh questa domanda tradisce che tu non abbia capito cosa è una derivata parziale. Prova a calcolare, usando la definizione, le derivate parziali di
\[
f(x, y)=\begin{cases} 1, & (x, y)\ne (0,0) \\ 0 , & (x, y)=(0,0),\end{cases}\]
per favore. [RISULTATO: Non esistono]

[SalvatCpo]

DERIVATE PARZIALI IN (0,0)

$ lim_(h -> 0) (f(h,0)-f(0,0))/h =
lim_(h -> 0) (1-0)/h = +- oo $
cioè la derivata parziale rispetto a x non esiste

$ lim_(k -> 0) (f(0,k)-f(0,0))/k =
lim_(k -> 0) (1-0)/k = +- oo $ ,
dunque non esiste nemmeno la derivata parziale rispetto a y.



DERIVATE PARZIALI IN PUNTI DIVERSI DALL'ORIGINE
$ lim_(h -> 0) (f(x+h,y)-f(x,y))/h =
lim_(h -> 0) (1-1)/h = 0 $
$ lim_(k -> 0) (f(x,y+k)-f(x,y))/k =
lim_(k -> 0) (1-1)/k = 0 $ ,
cioè troviamo un gradiente nullo, il che è sensato perchè la funzione è costante.

Grazie per aver chiarito il mio dubbio

[dissonance]

Prego, mi fa piacere essere stato utile.

[SalvatCpo]

Se avessi

$ f(x,y)= g(x,y) hArr (x,y)!= (0,0) $

$ f(x,y)= 0 hArr (x,y)= (0,0) $

dove g(x) è, per esempio, un rapporto fra polinomi in x e y...

Se devo studiare la differenziabilità in (0,0), devo prima mostrare che le derivate parziali esistono continue in (0,0).
LO DEVO FARE PER FORZA TRAMITE LA DEFINIZIONE DI DERIVATA PARZIALE (LIMITE DEL RAPPORTO INCREMENTALE RISPETTO A X E POI RISPETTO A Y)
oppure
POSSO CALCOLARE LE DERIVATE PARZIALI TRAMITE LE REGOLE DI DERIVAZIONE, SOSTITUIRE (0,0) E VEDERE SE ESISTONO CONTINUE?

Con regole di derivazione intendo, ad esempio: $ g(x,y)=x^2 + y rArr DerivparzX = 2x rArr DerivparzX(0,0)=2*0=0 $


Infine... trovato che tutte le derivate parziali esistono continue in (0,0)...
è sufficiente dire che la funzione è differenziabile in (0,0) per il teorema del differenziale totale?

Oppure devo scrivere la definizione di differenziabilità (che contiene le derivate parziali) e vedere se è verificata?

[dissonance]

REGOLA GENERALE: Nel dubbio, applica la definizione. Così sei sicuro di non sbagliare.

Per esempio, considera \(g(x, y)=1\) e
\[
f(x, y)=\begin{cases} g(x, y), & (x, y)\ne (0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0).\end{cases}\]
(So che è lo stesso esempio di prima, ma è talmente semplice e istruttivo che conviene capirlo a fondo). La funzione \(g\) ha tutta la regolarità del mondo: è derivabile infinite volte in tutti i punti. MA la funzione \(f\) non è derivabile e non è continua in \((0,0)\).