Domanda che mi angocia da un pò (Differeziabilità c.scalar)
Ciao a tutti, ecco il mio dubbio:
tutti abbiamo presente la "famosa" dimostrazione differenziabilità $rarr$ continuità
che consiste nel dimostrare che in un intorno del punto si ha:
$AA$ incremento $h$ :
$\lim_{||h|| \to \0} f(x+h)-f(x)$ tende a zero
e si dimostra usando il secondo membro della definizione di differenziabilità, quindi:
$\lim_{||h|| \to \0} \varphi(h) +o(||h||)$ ...che di vede tendere a zero...
e questo significa brutalmente che una funzione è differenziabile se spostandomi di pochissimo dal punto (incremento che tende a zero) ottengo valori di $f$ poco distanti dal valore di $f$ ne punto!
ora io vorrei sapere perchè non si può giungere alla stessa conclusione (cioè la continuità) usando come ipotesi, anzichè la differenziabilità, l'esistenza di tutte le derivate parziali!!
So già che non è possibile poichè qualunque libro lo dice, però ho provato a inventare questo teorema
esistono tutte le derivate parziali $rarr$ continuità
e provare a dimostrarlo
l'ipotesi è:
$\lim_{||h|| \to \0} (f(x+tv)-f(x))/t$ $=\varphi(v)$
$\lim_{||h|| \to \0} (f(x+tv)-f(x)-\varphi(v)*t)/t$ $=0$
$f(x+tv)-f(x)=\varphi(v)*t+o(t)$ per t->0
ora se v tende a zero cosa succede?
il secondo membro va a zero(e quindi verifica la tesi) o no???
Aiutatemi, sto sclerando dietro a questo problema!
tutti abbiamo presente la "famosa" dimostrazione differenziabilità $rarr$ continuità
che consiste nel dimostrare che in un intorno del punto si ha:
$AA$ incremento $h$ :
$\lim_{||h|| \to \0} f(x+h)-f(x)$ tende a zero
e si dimostra usando il secondo membro della definizione di differenziabilità, quindi:
$\lim_{||h|| \to \0} \varphi(h) +o(||h||)$ ...che di vede tendere a zero...
e questo significa brutalmente che una funzione è differenziabile se spostandomi di pochissimo dal punto (incremento che tende a zero) ottengo valori di $f$ poco distanti dal valore di $f$ ne punto!
ora io vorrei sapere perchè non si può giungere alla stessa conclusione (cioè la continuità) usando come ipotesi, anzichè la differenziabilità, l'esistenza di tutte le derivate parziali!!
So già che non è possibile poichè qualunque libro lo dice, però ho provato a inventare questo teorema
esistono tutte le derivate parziali $rarr$ continuità
e provare a dimostrarlo
l'ipotesi è:
$\lim_{||h|| \to \0} (f(x+tv)-f(x))/t$ $=\varphi(v)$
$\lim_{||h|| \to \0} (f(x+tv)-f(x)-\varphi(v)*t)/t$ $=0$
$f(x+tv)-f(x)=\varphi(v)*t+o(t)$ per t->0
ora se v tende a zero cosa succede?
il secondo membro va a zero(e quindi verifica la tesi) o no???
Aiutatemi, sto sclerando dietro a questo problema!
Risposte
grazie gugo,
però c'è un problema, nella funzione che riporti tu non è verificata l'ipotesi di cui parlo io, infatti nella direzione (1,1) la derivata non esiste (va a infinito);
comunque a me interessava più una risposta formale (sulla dimostrazione) che non esempi...grazie!
però c'è un problema, nella funzione che riporti tu non è verificata l'ipotesi di cui parlo io, infatti nella direzione (1,1) la derivata non esiste (va a infinito);
comunque a me interessava più una risposta formale (sulla dimostrazione) che non esempi...grazie!
Ragionare sulle singole direzioni, senza richieste di uniformità rispetto alla direzione, non ti può portare alla continuità.
Ti faccio un esempio limite.
Considera la funzione $f(x,y) = 1$ se $y = x^2$, $x\ne 0$, $f=0$ su tutti gli altri punti del piano.
Puoi verificare facilmente che, per ogni vettore $v$ unitario, hai che $f(t v) = 0$ per $t$ in un intorno di $t=0$, quindi tutte le derivate parziali di $f$ nell'origine sono nulle.
D'altra parte, $f$ non è continua nell'origine.
Se guardi meglio l'esempio, ti accorgi che il problema sta nel fatto che l'intorno di $t=0$ dove $f(tv)$ è nulla diventa tanto più piccolo tanto più $v$ si avvicina ad essere orizzontale (quindi non c'è uniformità nella dimensione di questi intorni al variare di $v$).
Ti faccio un esempio limite.
Considera la funzione $f(x,y) = 1$ se $y = x^2$, $x\ne 0$, $f=0$ su tutti gli altri punti del piano.
Puoi verificare facilmente che, per ogni vettore $v$ unitario, hai che $f(t v) = 0$ per $t$ in un intorno di $t=0$, quindi tutte le derivate parziali di $f$ nell'origine sono nulle.
D'altra parte, $f$ non è continua nell'origine.
Se guardi meglio l'esempio, ti accorgi che il problema sta nel fatto che l'intorno di $t=0$ dove $f(tv)$ è nulla diventa tanto più piccolo tanto più $v$ si avvicina ad essere orizzontale (quindi non c'è uniformità nella dimensione di questi intorni al variare di $v$).
ragazzi di esempi ne conosco già molti e so benissimo che non è corretto avvicinarsi lungo una certa direzione!(che sia una retta, parabola o altro)
vorrei sapere come fa a cadere la dimostrazione!
vorrei sapere come fa a cadere la dimostrazione!
Mi sembrava di avertelo detto: fissato $\epsilon > 0$, se non hai uniformità nella direzione non è detto che tu riesca a trovare un $\delta >0$ t.c. $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ per ogni $x\in B_{\delta}(x_0)$. Il modo migliore per convircersi di questo fatto è guardare un esempio (a questo servono gli esempi...). Nell'esempio che ti ho fatto vedi proprio come si riducono gli intervalli quando la direzione tende ad essere orizzontale.
Riguardo la tua "dimostrazione": quando scrivi $o(t)$ (per $v$ fissato), stai in realtà indicando una funzione $\psi(t,v)$ che tende a zero per $t\to 0$ (sempre con $v$ fissato) più velocemente di $t$. A te servirebbe invece dimostrare che $"sup"_{|v|=1} |psi(t,v)| \to 0$ per $t\to 0$; quest'ultima condizione è differente dalla precedente.
Riguardo la tua "dimostrazione": quando scrivi $o(t)$ (per $v$ fissato), stai in realtà indicando una funzione $\psi(t,v)$ che tende a zero per $t\to 0$ (sempre con $v$ fissato) più velocemente di $t$. A te servirebbe invece dimostrare che $"sup"_{|v|=1} |psi(t,v)| \to 0$ per $t\to 0$; quest'ultima condizione è differente dalla precedente.
grazie rigel!ma non mi sono ancora chiare delle cose; cosa vuol dire:
1) "l'intorno di t dove f(x,y) è nulla diventa tanto più piccolo tanto più si avvicina ad essere orizzontale"
in pratica mi stai dicendo che: supponiamo che la direzione sia una lancetta di orologio, partendo dalle ore 12 (asse y) e andando verso le ore 3 ho che f(tv) VALE zero quando t TENDE a zero, in particolare TENDERE="esiste un intorno di t=0 che verifica la condizione", questo intorno diventa sempre più piccolo
ho capito bene?
ora potresti spiegarmi bene come faccio a concludere da queste osservazioni che, dato $\epsilon$ non trovo $delta$ tale che...
2)da dove salta fuori l'estremo superiore?
se si parla di estremo superiore ci riferiamo ad insieme; l'insieme a cui ti riferisci è quello degli $o(t)$ PER OGNI $v$ (per ogni $v$ c'è un elemento dell'insieme) giusto?e se ho capito delle allora quanto vale questo benedetto estremo superiore??
ho le idee confuse...dammi una "schiarita"!
GRAZIE MILLE!
1) "l'intorno di t dove f(x,y) è nulla diventa tanto più piccolo tanto più si avvicina ad essere orizzontale"
in pratica mi stai dicendo che: supponiamo che la direzione sia una lancetta di orologio, partendo dalle ore 12 (asse y) e andando verso le ore 3 ho che f(tv) VALE zero quando t TENDE a zero, in particolare TENDERE="esiste un intorno di t=0 che verifica la condizione", questo intorno diventa sempre più piccolo
ho capito bene?
ora potresti spiegarmi bene come faccio a concludere da queste osservazioni che, dato $\epsilon$ non trovo $delta$ tale che...
2)da dove salta fuori l'estremo superiore?
se si parla di estremo superiore ci riferiamo ad insieme; l'insieme a cui ti riferisci è quello degli $o(t)$ PER OGNI $v$ (per ogni $v$ c'è un elemento dell'insieme) giusto?e se ho capito delle allora quanto vale questo benedetto estremo superiore??
ho le idee confuse...dammi una "schiarita"!
GRAZIE MILLE!
Come puoi dire: "dove cade la dimostrazione?" Se non è vero che negando le ipotesi la tesi diventerebbe falsa? come molti esempi ti dimostrano. 
[edit] Per essere più chiari, se neghi le ipotesi(le derivate parziali non sono continue nel punto etc etc) non puoi concludere: allora la funzione non è continua!
e sono gli esempi che ti permettono di dire questo.
Vedila così se ti va, alle volte ci sono delle ipotesi che sono troppo deboli per poterci far esprimere sulla decidibilità di una affermazione(tesi), come una strada che arriva ad un bivio, a secondo del percorso, puoi arrivare a destinazione come no, questo significa che puoi negare le ipotesi come vuoi, a volte, ma trovi sempre un esempio per cui la tesi è vera, in pratica ti eri fermato ad un bivio prima della destinazione.
[edit] Per essere più chiari, se neghi le ipotesi(le derivate parziali non sono continue nel punto etc etc) non puoi concludere: allora la funzione non è continua!
e sono gli esempi che ti permettono di dire questo.
Vedila così se ti va, alle volte ci sono delle ipotesi che sono troppo deboli per poterci far esprimere sulla decidibilità di una affermazione(tesi), come una strada che arriva ad un bivio, a secondo del percorso, puoi arrivare a destinazione come no, questo significa che puoi negare le ipotesi come vuoi, a volte, ma trovi sempre un esempio per cui la tesi è vera, in pratica ti eri fermato ad un bivio prima della destinazione.
"funny hill":
1) "l'intorno di t dove f(x,y) è nulla diventa tanto più piccolo tanto più si avvicina ad essere orizzontale"
in pratica mi stai dicendo che: supponiamo che la direzione sia una lancetta di orologio, partendo dalle ore 12 (asse y) e andando verso le ore 3 ho che f(tv) VALE zero quando t TENDE a zero, in particolare TENDERE="esiste un intorno di t=0 che verifica la condizione", questo intorno diventa sempre più piccolo
ho capito bene?
ora potresti spiegarmi bene come faccio a concludere da queste osservazioni che, dato $\epsilon$ non trovo $delta$ tale che...
Data una direzione unitaria $v$, sia $I_v = (-\delta_v, \delta_v)$ un intorno di $t=0$ t.c. $f(tv) = 0$ per ogni $t\in I_v$; prendi pure il più grande intorno di questo tipo dove ciò accade, così è fissato.
Nell'esempio che ti ho fatto, ciò che succede è che $\delta_v \to 0$ quando $v\to (1,0)$ oppure $v\to (-1,0)$, vale a dire quando la direzione $v$ tende a essere orizzontale (se vuoi questi $\delta_v$ te li puoi anche calcolare esplicitamente).
Adesso fissa $\epsilon\in (0,1)$; il tuo scopo, per dimostrare la continuità, è quello di determinare $\delta > 0$ t.c.
$|f(x,y)| < \epsilon$ per ogni $(x,y)\in B_{\delta}(0,0)$.
(Ovviamente stiamo supponendo $f(0,0) = 0$.)
Osserva che questa condizione equivale a richiedere
$|f(tv)| < \epsilon$ per ogni $v\in \mathbb{R}^2$ unitario e per ogni $t\in (-\delta, \delta)$.
Capisci subito che questo è possibile solo se i $\delta_v$ determinati prima sono tutti più grandi di $\delta$; d'altra parte
$\delta_v \ge \delta$ per ogni $v$ unitario $\Leftrightarrow "inf"_{|v| = 1} \delta_v \ge \delta$.
In altri termini, riesci a trovare un tale $\delta$ se e solo se $"inf"_{|v| = 1} \delta_v > 0$, cosa che non avviene nell'esempio proposto.
[/quote]
2)da dove salta fuori l'estremo superiore?
Quell'estremo superiore salta fuori esattamente nello stesso modo in cui salta fuori l'estremo inferiore dei $\delta_v$.
ORA E' CHIARISSIMO!
non credo ci sia altro da aggiungere se non che ti voglio bene!
non credo ci sia altro da aggiungere se non che ti voglio bene!
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