Domanda breve sulle potenze complesse
http://www.vialattea.net/esperti/php/ri ... ?num=10662
Qui il nostro Luca Lussardi scrive sulle potenza complesse.
Alla fine c'è scritto che la potenza complessa di un numero reale rimane polidroma.
Tuttavia non mi torna.
In generale, se $z in CC$ e $alpha in CC$:
$z^(alpha)=e^(alpha(log|z|+i theta))=e^(alpha(log|z|))e^(i alpha theta)=|z|^(Re alpha)e^(i Im (alpha) log|z|)e^(i alpha theta)$, $theta in Arg(z)$.
Ora se $z$ è reale positivo $theta$ sarà del tipo $2 k pi$, per $k in ZZ$.
In tal caso $e^ (alpha i theta)=1$, da ciò non si ha la polidromia.
Sono sicuro di sbagliarmi, ma non capisco dove.
Scusate per la domanda così stupida, ma mi date una mano? Grazie, ciao.
Qui il nostro Luca Lussardi scrive sulle potenza complesse.
Alla fine c'è scritto che la potenza complessa di un numero reale rimane polidroma.
Tuttavia non mi torna.
In generale, se $z in CC$ e $alpha in CC$:
$z^(alpha)=e^(alpha(log|z|+i theta))=e^(alpha(log|z|))e^(i alpha theta)=|z|^(Re alpha)e^(i Im (alpha) log|z|)e^(i alpha theta)$, $theta in Arg(z)$.
Ora se $z$ è reale positivo $theta$ sarà del tipo $2 k pi$, per $k in ZZ$.
In tal caso $e^ (alpha i theta)=1$, da ciò non si ha la polidromia.
Sono sicuro di sbagliarmi, ma non capisco dove.
Scusate per la domanda così stupida, ma mi date una mano? Grazie, ciao.
Risposte
Nessuno? 
Se rifai il conto tenendo presente che $z=|z|e^{i(\theta+2k\pi)}$ non ottieni quel risultato.
Avendo usato $z=|z|e^{i\theta}$ ti sei implicitamente messo nel ramo principale.
Avendo usato $z=|z|e^{i\theta}$ ti sei implicitamente messo nel ramo principale.
"Eredir":
Se rifai il conto tenendo presente che $z=|z|e^{i(\theta+2k\pi)}$ non ottieni quel risultato.
Avendo usato $z=|z|e^{i\theta}$ ti sei implicitamente messo nel ramo principale.
Scusami, non ho capito.
Io ho preso $theta in Arg z$, quindi...
Scusami ancora, ma non capisco...
"amel":
Scusami, non ho capito.
Io ho preso $theta in Arg z$, quindi...
Scusami ancora, ma non capisco...
La monodromia di una funzione è una proprietà che vale in generale, se ti restringi ad un ramo, ad esempio scegliendo $\theta\inArgz$, dimostri solamente che quella funzione è monodroma in quel particolare ramo.
Pensa al logaritmo complesso, anche in quel caso se ti restringi al ramo principale hai una funzione ad un solo valore.
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