Domanda borderline di analisi (mi serve un analista :D)
Avevo provato a postare la domanda in geometria anche se proviene da un corso di analisi, ma siccome la risposta che cercavo è sull'utilizzo dell'analisi[nota]borderline perché è anche un po' geometria[/nota] vorrei ravvedermi e cercare aiuto tra voi in analisi dato che non ho avuto grandi aiuti.
Spiego il mio dubbio scemo, il tutto parte dalla domanda:
in analisi 2 stiamo studiando le superfici parametrizzate e sono definite come una funzione U in R^2 che va in R^3 tale che soddisfi 3 criteri:
1) essere C infinito
2) la matrice del differenziale di questa funzone abbia rango massimo (cioè la jacobiana ha rango 2)
3) sia un omeomorfismo sulla sua immagine (continua, 1:1, inversa continua)
Ora, il prof andando avanti ha detto che le superfici con bordo non sono superfici di nostro interesse e sono un'altra classe di superfici diciamo cosi.
Ma io non capisco perché includendo il bordo contravverrei a uno dei 3 punti succitati, cosa non funziona se metto un punto del bordo?
Mi sono provato a dare la seguente risposta:
Mi piacerebbe tantissimo uscire da questo dedalo in cui mi sono cacciato
e vi chiedo un gentile aiuto a riguardo.
Spiego il mio dubbio scemo, il tutto parte dalla domanda:
in analisi 2 stiamo studiando le superfici parametrizzate e sono definite come una funzione U in R^2 che va in R^3 tale che soddisfi 3 criteri:
1) essere C infinito
2) la matrice del differenziale di questa funzone abbia rango massimo (cioè la jacobiana ha rango 2)
3) sia un omeomorfismo sulla sua immagine (continua, 1:1, inversa continua)
Ora, il prof andando avanti ha detto che le superfici con bordo non sono superfici di nostro interesse e sono un'altra classe di superfici diciamo cosi.
Ma io non capisco perché includendo il bordo contravverrei a uno dei 3 punti succitati, cosa non funziona se metto un punto del bordo?
Mi sono provato a dare la seguente risposta:
Mi piacerebbe tantissimo uscire da questo dedalo in cui mi sono cacciato
e vi chiedo un gentile aiuto a riguardo.
Risposte
giusto per dire, queste sono questioni di geometria differenziale, ovvero (detto in parole povere) esattamente quella branca della matematica che utilizza metodi analitici e topologici assieme
Ti ringrazio per la precisazione ma non avendo avuto risposte riguardo il punto di "analisi" e avenola affrontata in analisi 2 (sono ad ingegneria) ho pensato meglio scrivere qui.
Detto ciò, non si potrebbe darmi una qualche risposta a questa domanda che ponevo?
sono terribilmente curioso!
Detto ciò, non si potrebbe darmi una qualche risposta a questa domanda che ponevo?
sono terribilmente curioso!
Non è la continuità il problema, ci possono essere funzioni continue da $RR^2$ che hanno per immagine superfici con bordo. E nemmeno essere $C^\infty$.
Il problema è il punto 3 e a occhio anche il punto 2, che però dovrebbe essere un po' più complicato da capire, ma intuitivamente, nei punti della retroimmagine del bordo, ci sarà una direzione che corrisponde attraverso il differenziale alla direzione ortogonale al bordo, che se immagini di attraversarla, in corrispondenza del bordo cambia direzione, che sarebbe un annullamento della derivata, e quindi la Jacobiana non ha rango massimo.
Il punto 3 dà molti problemi, intanto di iniettività, per fare un esempio concreto se l'immagine fosse un disco, la retroimmagine del suo bordo sarebbe una curva semplice e chiusa, che per il teorema di Jordan separa il piano in due diverse componenti connesse, il "dentro" e il "fuori", che unite dovrebbero essere la retrommagine omeomorfa della varietà senza bordo che è connessa, il che è impossibile. Questo argomento funziona con tutti i bordi limitati, per fare un esempio con bordo illimitato, se la varietà fosse un semipiano, la retroimmagine del bordo sarebbe omeomorfa a una retta, ma il complementare dovrebbe essere connesso, quindi almeno una delle estremità non dovrebbe andare all'infinito, ma allora non sarebbe in insieme chiuso e dove mandare i punti della chiusura sarebbe un bel problema.
Più in generale, facendo uso di strumenti più potenti, la presenza del bordo rende l'immagine localmente non omeomorfa, e questo discende praticamente dal teorema dell'invarianza del dominio.
Comunque con queste questioni devi sapere che molto velocemente anche rimanendo su interrogativi apparentemente elementari si devono scomodare teoremi profondi come l'ultimo citato o anche quello della curva di Jordan.
Il problema è il punto 3 e a occhio anche il punto 2, che però dovrebbe essere un po' più complicato da capire, ma intuitivamente, nei punti della retroimmagine del bordo, ci sarà una direzione che corrisponde attraverso il differenziale alla direzione ortogonale al bordo, che se immagini di attraversarla, in corrispondenza del bordo cambia direzione, che sarebbe un annullamento della derivata, e quindi la Jacobiana non ha rango massimo.
Il punto 3 dà molti problemi, intanto di iniettività, per fare un esempio concreto se l'immagine fosse un disco, la retroimmagine del suo bordo sarebbe una curva semplice e chiusa, che per il teorema di Jordan separa il piano in due diverse componenti connesse, il "dentro" e il "fuori", che unite dovrebbero essere la retrommagine omeomorfa della varietà senza bordo che è connessa, il che è impossibile. Questo argomento funziona con tutti i bordi limitati, per fare un esempio con bordo illimitato, se la varietà fosse un semipiano, la retroimmagine del bordo sarebbe omeomorfa a una retta, ma il complementare dovrebbe essere connesso, quindi almeno una delle estremità non dovrebbe andare all'infinito, ma allora non sarebbe in insieme chiuso e dove mandare i punti della chiusura sarebbe un bel problema.
Più in generale, facendo uso di strumenti più potenti, la presenza del bordo rende l'immagine localmente non omeomorfa, e questo discende praticamente dal teorema dell'invarianza del dominio.
Comunque con queste questioni devi sapere che molto velocemente anche rimanendo su interrogativi apparentemente elementari si devono scomodare teoremi profondi come l'ultimo citato o anche quello della curva di Jordan.
Cavolo non pensavo che una domanda cosi stupida fosse dietro-dietro così complessa.
Io mi ero solo detto: dato che il punto 3 chiede essere omeomorfa allora dovrebbe essere invertibile. Quindi essendo invertibile posso considerare l'inversa $phi^-1$. Bene, a questo punto se io prendo un aperto in $RR^2$e considero questo aperto essere tutto l'U che mi parametrizzava la superficie, allora mi accorgevo che la controimmagie di U tramite $phi^-1$ era una superficie con bordo, ed avendo bordo non mi pareva aperta. Quindi contravveniva al concetto di continuità topologica: la controimmagine di un aperto in questo caso non era un aperto. Ergo non era un omeomorfismo, ergo non era una parametrizzazione
Questo topologicamente, quindi mi pareva sensato poter dire: come lo rivedo con la continuità dell'analisi? (perché la continuità topologica vista come controimmagine mi era intuitiva ma portandolo alla continutià analitica con epsilon delta non riuscivo a fare il ragionamento summenzionato)
Ovviamente è un ragionamento sbagliato il mio ma... A questo punto non riesco a vedere il perché e lo capisco leggendo la prima riga della tua risposta. Infatti mi pare apparentemente sensato il mio discorso, ma mi dici che esistono continue che mandano in superfici con bordo, quindi dove cavolo sbaglio?
Io mi ero solo detto: dato che il punto 3 chiede essere omeomorfa allora dovrebbe essere invertibile. Quindi essendo invertibile posso considerare l'inversa $phi^-1$. Bene, a questo punto se io prendo un aperto in $RR^2$e considero questo aperto essere tutto l'U che mi parametrizzava la superficie, allora mi accorgevo che la controimmagie di U tramite $phi^-1$ era una superficie con bordo, ed avendo bordo non mi pareva aperta. Quindi contravveniva al concetto di continuità topologica: la controimmagine di un aperto in questo caso non era un aperto. Ergo non era un omeomorfismo, ergo non era una parametrizzazione
Questo topologicamente, quindi mi pareva sensato poter dire: come lo rivedo con la continuità dell'analisi? (perché la continuità topologica vista come controimmagine mi era intuitiva ma portandolo alla continutià analitica con epsilon delta non riuscivo a fare il ragionamento summenzionato)
Ovviamente è un ragionamento sbagliato il mio ma... A questo punto non riesco a vedere il perché e lo capisco leggendo la prima riga della tua risposta. Infatti mi pare apparentemente sensato il mio discorso, ma mi dici che esistono continue che mandano in superfici con bordo, quindi dove cavolo sbaglio?
È una cosa abbastanza diffusa in matematica che approfondendo in certe direzioni a partire anche da argomenti semplici si finisce ad imbattersi in questioni anche molto profonde e difficili.
Comunque quello che sbagli nel tuo ragionamento è che l'immagine della funzione è effettivamente aperta perchè si intende nella topologia del sottospazio, e tutto lo spazio stesso è un aperto.
Invece la retroimmagine, ad esempio di tutta la varietà è tutto $RR^2$, che anche è aperto.
Comunque per parlare di varietà con bordo quello che si va a modificare non è nessuna delle cose su cui ti sei concentrato della definizione, ma si cambia proprio il dominio della parametrizzazione, infatti invece di prendere $RR^2$ (o, come si fa più spesso ed è equivalente, un suo aperto), si prende un aperto di un semipiano chiuso, ad esempio $[0,\+infty)\timesRR$.
Comunque quello che sbagli nel tuo ragionamento è che l'immagine della funzione è effettivamente aperta perchè si intende nella topologia del sottospazio, e tutto lo spazio stesso è un aperto.
Invece la retroimmagine, ad esempio di tutta la varietà è tutto $RR^2$, che anche è aperto.
Comunque per parlare di varietà con bordo quello che si va a modificare non è nessuna delle cose su cui ti sei concentrato della definizione, ma si cambia proprio il dominio della parametrizzazione, infatti invece di prendere $RR^2$ (o, come si fa più spesso ed è equivalente, un suo aperto), si prende un aperto di un semipiano chiuso, ad esempio $[0,\+infty)\timesRR$.
Vorrei chiederti solo altre due cose, da ignorane quale sono su questi argomenti. Spero avrai voglia di ascoltarmi comunque 
L'altra cosa che volevo chiederti era la seguente (poi chiudo e non ti rompo più perché ho capito che ne so troppo poco e dovrò approfondire meglio).
Leggendo appunto di topologia per conto mio si parlava di un quadrato in $RR^2$ il quale aveva due lati compresi e due esclusi (inteso come inseme) e mettiamo i lati inclusi disegnato il quadrato in $RR^2$ siano quelli del lato destro e superiore, a questo punto il pdf portava l'esempio di creare una topologia del genere: si mantiene la topologia dell'analisi classica (ossia quella avente come aperti di base le palle aperte), con questa topologia le palle centrate nei dei punti di bordo (dei lati inclusi qundi dx e superiore) del quadrato non sono ovviamente aperti, perchè avrei di fatto un semicerchio con il diametro incluso e non una palla aperta. Inoltre il quadrato stesso non è aperto perché appunto alcuni punti non sono punti interni (e un aperto in analisi è l'insieme per cui tutti i suoi punti sono interni). Si "corregge" ora la topologia aggungendo il semicerchio "mancante" come se fosse formato dai punti del lato non compreso opposto. Insomma è come se uscendo da destra tornassi a sinistra e uscendo da sopra ricomincio da sotto[nota]ricorda molto snake[/nota]. Con questa topologia il quadrato che prima non era un aperto è un -insieme- aperto! (non so come spiegarlo ma se non si capisce bene faccio un disegno, fammi sapere)
Con questa topologia che abbiamo fatto nascere da quella classica di $RR^2$ otteniamo un toro astratto (quindi qualcosa che è una varietà astratta con la topologia e i suoi aperti così creati).
Intuitivamente mi sembra tornare, posso parametrizzare questi nuovi aperti con varie carte e atlante massimale e tutto belllissimo.
La mia domanda scema è questa: ma se io definissi una topologia che ha come aperti quelli della topologia dell'analisi classica (come sopra) e aggiungo come aperto il semicerchio centrato sul bordo incluso? Senza dover far tutta quella costruzione di appiccicare il lato destro col sinistro e quello sopra con sotto. Io dico proprio: chiamo aperto il semicerchio centrato sui punti dei lati inclusi del mio quadrato. Ecco, non capisco se questi isiemi risponderebbero ad essere aperti per gli assiomi della mia nuova topologia oppure se vanificano qualche intersezione e unione arbitraria. Inoltre mi chiedo a questo punto il quadrato con due bordi inclusi e due no che non era un aperto nell'analisi diventa un aperto con questa topologia? In poche parole, mi piacerbbe detto terra terra capire se esiste una topologia per un quadrato con due lati inclusi e due no per cui è definibile insieme aperto? E mi chiedo se questa mia topologia ideata funzionerebbe a tal scopo.
Ho detto stupidaggini? Nel caso potresti correggermi? grazie mille
Comunque quello che sbagli nel tuo ragionamento è che l'immagine della funzione è effettivamente aperta perchè si intende nella topologia del sottospazio, e tutto lo spazio stesso è un aperto.questa cosa non l'ho ben capita, tutto lo spazio è aperto e ok, ma perché l'immagine con bordo dovrebbe essere aperta perché riguardante la topologia del sottospazio? Non ho proprio capito la proposizione che hai detto.
L'altra cosa che volevo chiederti era la seguente (poi chiudo e non ti rompo più perché ho capito che ne so troppo poco e dovrò approfondire meglio).
Leggendo appunto di topologia per conto mio si parlava di un quadrato in $RR^2$ il quale aveva due lati compresi e due esclusi (inteso come inseme) e mettiamo i lati inclusi disegnato il quadrato in $RR^2$ siano quelli del lato destro e superiore, a questo punto il pdf portava l'esempio di creare una topologia del genere: si mantiene la topologia dell'analisi classica (ossia quella avente come aperti di base le palle aperte), con questa topologia le palle centrate nei dei punti di bordo (dei lati inclusi qundi dx e superiore) del quadrato non sono ovviamente aperti, perchè avrei di fatto un semicerchio con il diametro incluso e non una palla aperta. Inoltre il quadrato stesso non è aperto perché appunto alcuni punti non sono punti interni (e un aperto in analisi è l'insieme per cui tutti i suoi punti sono interni). Si "corregge" ora la topologia aggungendo il semicerchio "mancante" come se fosse formato dai punti del lato non compreso opposto. Insomma è come se uscendo da destra tornassi a sinistra e uscendo da sopra ricomincio da sotto[nota]ricorda molto snake[/nota]. Con questa topologia il quadrato che prima non era un aperto è un -insieme- aperto! (non so come spiegarlo ma se non si capisce bene faccio un disegno, fammi sapere)
Con questa topologia che abbiamo fatto nascere da quella classica di $RR^2$ otteniamo un toro astratto (quindi qualcosa che è una varietà astratta con la topologia e i suoi aperti così creati).
Intuitivamente mi sembra tornare, posso parametrizzare questi nuovi aperti con varie carte e atlante massimale e tutto belllissimo.
La mia domanda scema è questa: ma se io definissi una topologia che ha come aperti quelli della topologia dell'analisi classica (come sopra) e aggiungo come aperto il semicerchio centrato sul bordo incluso? Senza dover far tutta quella costruzione di appiccicare il lato destro col sinistro e quello sopra con sotto. Io dico proprio: chiamo aperto il semicerchio centrato sui punti dei lati inclusi del mio quadrato. Ecco, non capisco se questi isiemi risponderebbero ad essere aperti per gli assiomi della mia nuova topologia oppure se vanificano qualche intersezione e unione arbitraria. Inoltre mi chiedo a questo punto il quadrato con due bordi inclusi e due no che non era un aperto nell'analisi diventa un aperto con questa topologia? In poche parole, mi piacerbbe detto terra terra capire se esiste una topologia per un quadrato con due lati inclusi e due no per cui è definibile insieme aperto? E mi chiedo se questa mia topologia ideata funzionerebbe a tal scopo.
Ho detto stupidaggini? Nel caso potresti correggermi? grazie mille
@otta96: mi sa che ho detto stupidaggini? vero.
Uno spazio topologico induce una topologia su ogni suo sottoinsieme, gli aperti sono tutte le intersezioni tra aperti dello spazio e il sottoinsieme. Quindi forma uno spazio a sè, di conseguenza è aperto, così come nel tuo esempio i semicerchi delimitati dal bordo sono aperti perchè intersezioni di un aperto con l'insieme. Fa tutta quella costruzione perchè voleva costruire proprio un'altra cosa rispetto al quadrato.
Sì, sì certo era chiaro che volesse costruire il toro astratto come spazio topologico diciamo così.
Però mi era venuta la balzana idea di provare a vedere se il quadrato con due bordi inclusi potesse essere un aperto.
Ora, mi pareva che funzonasse per intersezioni e unioni della base da me ideata [topologia standard + i semidischi con ""diametro incluso"] ma volevo esserne certo e questa era diciamo il senso della domanda
. Mi sembra di capire che confermi che anche il mio quadrato è un insieme aperto a quel punto (cioè fa parte della sua topologia, di cui fanno parte anche quei semidischi con diametro incluso (bordi dx e superiore)) ? Giusto?
La mia idea era capirlo provando tutte le interezioni e unioni, ma mi sembra di capire che la via piu facile sia considerare l'insieme tutto $RR^2$ e intersecarlo con il suo sottoinsieme (quadrato con due lati inclusi): il QUADRATO stesso in tal modo è un aperto per tuo suggerimento essendo indotto come topologia del sottospazio (interseco l'insieme quadrato con l'aperto tutto $RR^2$), così come tutti i semidischi sempre per intersezione sono aperti provenendo da un aperto dello spazio topologico intersecato col sottoinsieme quadrato.
Grazie ancora e scusa se ti ho un po' rotto le scatole!
Però mi era venuta la balzana idea di provare a vedere se il quadrato con due bordi inclusi potesse essere un aperto.
Ora, mi pareva che funzonasse per intersezioni e unioni della base da me ideata [topologia standard + i semidischi con ""diametro incluso"] ma volevo esserne certo e questa era diciamo il senso della domanda
. Mi sembra di capire che confermi che anche il mio quadrato è un insieme aperto a quel punto (cioè fa parte della sua topologia, di cui fanno parte anche quei semidischi con diametro incluso (bordi dx e superiore)) ? Giusto?La mia idea era capirlo provando tutte le interezioni e unioni, ma mi sembra di capire che la via piu facile sia considerare l'insieme tutto $RR^2$ e intersecarlo con il suo sottoinsieme (quadrato con due lati inclusi): il QUADRATO stesso in tal modo è un aperto per tuo suggerimento essendo indotto come topologia del sottospazio (interseco l'insieme quadrato con l'aperto tutto $RR^2$), così come tutti i semidischi sempre per intersezione sono aperti provenendo da un aperto dello spazio topologico intersecato col sottoinsieme quadrato.
Grazie ancora e scusa se ti ho un po' rotto le scatole!
Esatto, figurati
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