Domanda base integrali con residui
Ciao a tutti, volevo chiedere una cosa riguardo al calcolo degli integrali col teorema dei residui. In particolare non riesco a capire come si fa' a trovare l'integrale di una funzione tra 0 e + infinito se questa non è pari. Faccio un esempio:
$int_(0)^(+oo) (1/(x^s+1)) $
Da quello che ho capito, in questo tipo di integrale, devo calcolarlo scegliendo come cammino d'integrazione, non l'intero semicerchio con Im>0, ma solamente un settore circolare. Giustamente l'integrale non è tra $-oo$ e $+oo$ quindi il semiasse negativo non lo devo considerare.
Ora sul libro dice che devo considerare la funzione complessa:
$f(z) = 1/(z^s+1) = 1/(1+|z|^ze^(siarg(z)))$ , dove $alpha
Poi, ovviamente i punti singolari della funzione sono $e^(i(2kpi+pi)/s)$, ma con k intero, tale che
$alpha < (pi+2kpi)/s < alpha + 2pi$
Diciamo che fin quì, anche se non ho capito a fondo, potrei anche esserci, a parte il fatto di non aver capito il motivo della posizione su $alpha$.
Ora però arriva il calcolo dell'integrale: il libro considera (invece che il semicerchio giacente sul semipiano a parte immaginaria positiva), il seguente dominio:
${epsilon<=|z|<=R, 0 < arg(z) < (2pi)/s}$
E questa è l'altra cosa che non ho capito, cioè: ho $epsilon<=|z|<=R$ e ok. ma perché $arg(z)$ deve oscillare tra quei due angoli? Più che altro: perché $alpha$ deve oscillare tra quei due valori? Grazie..
$int_(0)^(+oo) (1/(x^s+1)) $
Da quello che ho capito, in questo tipo di integrale, devo calcolarlo scegliendo come cammino d'integrazione, non l'intero semicerchio con Im>0, ma solamente un settore circolare. Giustamente l'integrale non è tra $-oo$ e $+oo$ quindi il semiasse negativo non lo devo considerare.
Ora sul libro dice che devo considerare la funzione complessa:
$f(z) = 1/(z^s+1) = 1/(1+|z|^ze^(siarg(z)))$ , dove $alpha
Poi, ovviamente i punti singolari della funzione sono $e^(i(2kpi+pi)/s)$, ma con k intero, tale che
$alpha < (pi+2kpi)/s < alpha + 2pi$
Diciamo che fin quì, anche se non ho capito a fondo, potrei anche esserci, a parte il fatto di non aver capito il motivo della posizione su $alpha$.
Ora però arriva il calcolo dell'integrale: il libro considera (invece che il semicerchio giacente sul semipiano a parte immaginaria positiva), il seguente dominio:
${epsilon<=|z|<=R, 0 < arg(z) < (2pi)/s}$
E questa è l'altra cosa che non ho capito, cioè: ho $epsilon<=|z|<=R$ e ok. ma perché $arg(z)$ deve oscillare tra quei due angoli? Più che altro: perché $alpha$ deve oscillare tra quei due valori? Grazie..
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