Domanda banale

[Pivot1]

Forsa potrà sembrarvi banale, ma non lo ricordo!
Che cosa significa che una funzione $F :R rarr R$ continua trasforma insiemi compatti in insiemi compatti? Potete spiegarmelo semplicemente anche con qualche esempio?

Grazie ciao.

[wedge]

"Pivot":Forsa potrà sembrarvi banale, ma non lo ricordo!
Che cosa significa che una funzione $F :R rarr R$ continua trasforma insiemi compatti in insiemi compatti? Potete spiegarmelo semplicemente anche con qualche esempio?

Grazie ciao.

significa che data una funzione f R->R un insieme chiuso e limitato va in un insieme chiuso e limitato... cioè f([a,b])=[c,d] ossia l'immagine di un intervallo chiuso è ancora un intervallo chiuso. la dimostrazione mi sembra sia questa: funzione V->W con V e W metrici. dato E sottoinsieme di W possiamo costruire una copertura aperta G_a di E. chiamiamo ora $F=f^-1 (E)$. la controimmagine di G_a sarà ancora una famiglia di aperti H_a, e da essa se F è compatto possiamo astrarre una copertura finita. dunque trovando le immagini f(H_1), ...,f(H_n) esse saranno una copertura aperta finita di E, dunque E è compatto.
PS un corollario di questo teorema è il teorema di Weirstrass.

[Pivot1]

cioè quello che se una funzione è continua allora ammette un max e un min? Grazie per la risposta ciao

[wedge]

"Pivot":cioè quello che se una funzione è continua allora ammette un max e un min? Grazie per la risposta ciao

esatto! (nello spazio metrico R, altrimenti può non avere senso parlare di max e min)

[Giusepperoma2]

"Pivot":cioè quello che se una funzione è continua allora ammette un max e un min? Grazie per la risposta ciao

????

Y = X

mi sembra abbastanza continua... ma non ammette ne' massimo, ne' minimo..


il teorema di Waiestrass dice

che se f:[a,b]-->[c,d] e' continua, allora ammette massimo e minimo in [a,b].

E' fondamentale che la f sia definita su un compatto e che abbia per immagine un altro compatto!

magari era una precisazione inutile... ma magari no!

ciao ciao

[wedge]

si si in un compatto, credevo fosse sottointeso nel discorso di pivot ma è meglio precisare sempre, bravo Giuseppe

che un compatto abbia per immagine un compatto (se la funzione è continua) è dato dal teorema che ho riportato sopra

[Giusepperoma2]

certo!