Domanda a voi esperti sugli o piccoli nella formula di Taylor

[0mi]

Salve a tutti, volevo chiedere a voi esperti, perchè nella formula di Taylor ci sono funzioni tipo:
$ e^x=1+x+x^2/2+....+x^n/(n!)+o(x^n) $
E altre tipo :
$ senx=x-x^3/(2!)+x^5/(5!)+....+(-1)^(n+1)*(x^(2n+1))/((2n+1)!)+o(x^(2n+2)) $

Ecco la mia domanda è:
Come mai nella prima funzione o piccolo è scritto come o(x^n) e nella seconda come o(x^(2n+2))?

Grazie a tutti in anticipo.

[gugo82]

Perché le derivate pari del seno si annullano in $0$, dunque quella che scrivi con $text(o)(x^(2n+2))$ è la formula di Taylor di ordine $2n+2$, che coincide con quella di ordine $2n+1$ a meno dell’ordine nel resto di Peano perché il polinomio di Taylor di ordine $2n+2$ coincide con quello d’ordine $2n+1$.

[0mi]

ciao gugo, grazie per la cortese risposta. Però io ho studiato che la formula di taylor per e^x viene ricavata considerando il resto n-esimo Rn(x)= o(x^n). Perchè non può essere fatto lo stesso per la funzione seno? Non capisco perchè il resto Rn(x) venga considerato uguale a o(x^(2n+2)..

[Raptorista1]

È solo una notazione compatta per escludere metà dei termini, che sono zero come diceva gugo.

[0mi]

Ok ora mi è più chiaro, ma quando gugo scrive ""la formula che scrivo con o(x^(2n+2)) è la formula di Taylor di ordine 2n+2, che coincide con quella di ordine 2n+1 a meno dell’ordine nel resto di Peano"" cosa significa?
Cioè la formula di Taylor non può essere scritta in un solo modo?

[Raptorista1]

La formula "di base" sarebbe \(\sin x = \dots + o(x^{2n+1})\), tuttavia sappiamo dalla teoria che tutti i termini di ordine pari sono zero perché la funzione è dispari, quindi un generico termine \(o(x^{2n+1})\), che di norma sarebbe \(o(x^{2n+1}) = a x^{2n+2} + b x^{2n+3} + \cdots\), in questo caso specifico avrà sempre \(a = 0\), e quindi tanto vale incorporare questa informazione nell'espressione del resto, che diventa \(o(x^{2n+1}) = 0 x^{2n+2} + b x^{2n+3} + \cdots = b x^{2n+3} + \cdots = o(x^{2n+2})\).

[0mi]

Ora è molto più chiaro, ti ringrazio Raptorista