Domanda

[Sk_Anonymous]

Perchè è possibile avere due funzioni diverse con la stessa $ccL$ trasformata?

[Luca.Lussardi]

Significa solo che la trasformata di Laplace non è iniettiva.

[Sk_Anonymous]

Questo perchè qualcuno si è inventato e ha steso anche tutta una 'teoria' sulle cosidette 'funzioni nulle', che, come dice il nome, sono appunto funzioni che 'hanno valenza nulla'

Facciamo un esempio...

$f(t)=1$ -> $ccL [f(t)]= int_0^(+oo) e^(-s*t)*dt= 1/s$ (1)

prendiamo ora

$f^*(t)=x/x$ -> $ccL[f^*(t)]= int_0^(+oo) f^*(t)*e^(-s*t)*dt=1/s$ (2)

Dunque $f(t)$ ed $f^*(t)$ pur essendo 'differenti' hanno la stessa L-trasformata. Il fatto è che sono sì 'differenti', ma la loro differenza è una 'funzione nulla', ossia un 'qualcosa' di valenza pari al 'nulla'...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Luca.Lussardi]

Il tutto forse è meglio contestualizzato nell'ambito degli spazi $L^p$; infatti in tali spazi le funzioni tra loro uguali a meno di un insieme di misura nulla sono "la stessa funzione"; ora la trasformata di Laplace è iniettiva se operante su questi spazi?

[Kroldar]

A parte l'osservazione di Luca, cioè che funzioni aventi la stessa trasformata di Laplace coincidono q.o., aggiungerei anche che la nota formula di antitrasformazione di Riemann-Fourier fornisce l'espressione del segnale "regolarizzato", ovvero l'unico segnale tra i vari possibili coincidenti q.o. tale che siano verificate le seguenti proprietà $AA t$:
- il segnale è continuo o presenta discontinuità di prima specie in $t$, ma in questo ultimo caso risulta $x(t) = (x(t^+)+x(t^-))/2$
- esistono finite le derivate destra e sinistra di $x(t)$

[Luca.Lussardi]

La mia più che un'osservazione era una domanda; per Fourier ok, ma non sono particolarmente esperto di trasformata di Laplace, per cui non so se è vero che è iniettiva...

[Kroldar]

"Luca.Lussardi":La mia più che un'osservazione era una domanda; per Fourier ok, ma non sono particolarmente esperto di trasformata di Laplace, per cui non so se è vero che è iniettiva...

Uhm... avevo frainteso. Comunque io ho sempre saputo che la trasformazione di Laplace è iniettiva, in particolar modo quella bilatera, mentre per quella monolatera citata da lupo grigio si deve fare la restrizione al semiasse positivo.

[Sk_Anonymous]

Quindi la risposta è che può capitare di trovare 2 funzioni diverse aventi la stessa trasformata di laplace in quanto essa è iniettiva?

[Kroldar]

"Ainéias":Quindi la risposta è che può capitare di trovare 2 funzioni diverse aventi la stessa trasformata di laplace in quanto essa è iniettiva?

In senso stretto, la risposta è che è possibile trovare due funzioni diverse aventi stessa trasformata di Laplace, a patto che tali funzioni siano diverse in un insieme a misura nulla.
Con l'avvento della misura secondo Lebesgue, oggi si tende a usare un linguaggio diverso e a definire due funzioni diverse in un insieme a misura nulla come coincidenti. Quindi in senso lato possiamo dire che non è possibile trovare due funzioni distinte aventi stessa trasformata di Laplace.