Dividere parte reale da parte immaginaria

[kmn9]

Come faccio dividere la parte reale dalla parte immaginaria di questa funzione?

$f(z) =(1+iz)/(1-iz)$

In particolare mi serve per affermarne l'olomorfia secondo Cauchy Riemann

[phaerrax]

Ricorda che il rapporto tra due numeri complessi $a$ e $b$ è equivalente a
\[
\frac{a\overline{b}}{\lvert b\rvert^2}.
\]
Il denominatore così è un numero reale, e puoi separare più comodamente la parte reale e immaginaria del prodotto che è al numeratore.

[kmn9]

"phaerrax":Ricorda che il rapporto tra due numeri complessi $a$ e $b$ è equivalente a
\[
\frac{a\overline{b}}{\lvert b\rvert^2}.
\]
Il denominatore così è un numero reale, e puoi separare più comodamente la parte reale e immaginaria del prodotto che è al numeratore.

Grazie phaerrax ma anche applicando mi esce ancora un numero immaginario:

$(1+iz) / (1-iz) * (1+iz)/(1+iz) = (1+iz+iz-z^2) / (1 + z^2) = (2iz-z^2) / (1+z^2)$

e adesso al denominatore mi ritrovo $1 +$ il quadrato di un numero complesso.

[ELLIPS]

scusate, mi intrometto, kmn9 in realtà dovresti moltiplicare z per il suo coniugato. io ho provato a risolvere l'esercizio ponendo z=x+iy e a moltiplicare numeratore e denominatore per (x-iy-1). ora non so se calcoli e procedimento sono corretti, prova magari a rifarlo e vedi, a me la parte immaginaria va via al denominatore e quindi posso separare parte reale e parte immaginaria.

[kmn9]

se sviluppo in forma cartesiana mi viene:

$(1+iz)/(1-iz) = (1+ix-y) / (1-ix-y)$

moltiplicare per $x-iy-1$ mi complica la vita nel senso che al denominatore non semplifico niente

[ELLIPS]

ok avevo copiato il testo originale(che non aveva la i). in ogni caso non cambia molto, basta moltiplicare per (ix+y+1), comunque mi sembra che ci sia un segna sbagliato al denominatore nell'ultima equazione che hai messo. ok riflettendoci se non ho sbagliato nulla in pratica stai moltiplicando sopra e sotto per (i*coniug.z+1). svolgendo i calcoli il denominatore dovrebbe venire |z|^2+2Im(z)+1

[kmn9]

Avevi ragione, effettivamente il testo originale è diverso da quello che ho scritto nel post successivo, mi sono confuso con due esercizi simili.

Comunque verificando mi trovo con te, bastava moltiplicare per il denominatore con z coniugato.

quindi nel caso di:

$(1+iz)/(1-iz) = (1+ix-y) / (1-ix+y)$ bisogna moltiplicare per $1+ix+y$

nel caso di:

$(1+z)/(1-z) = (1+x+iy) / (1-x-iy)$ bisogna moltiplicare per $1-x+iy$

giusto?