Divergenza nulla $\Rightarrow$ rotore di campo

[DavideGenova1]

Sul testo di fisica che sto seguendo si dice che se la divergenza di un campo vettoriale è nulla, allora esso può essere scritto come rotore di un altro campo vettoriale, cioè $$\nabla\cdot\mathbf{B}=0\Rightarrow\exists\mathbf{A}:\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}.$$Un tale risultato si può dimostrare con gli strumenti di "analisi 2", integrata eventualmente con quel poco di analisi superiore trattato dal Kolmogorov-Fomin, che costituisce tutto ciò che è a me accessibile di analisi matematica oppure no e servono ben più sofisticati strumenti? Se sì, qualcuno sarebbe così gentile da fornirmi un link a qualche dimostrazione o da scriverne una qui?
$\infty$ grazie a tutti!

[donald_zeka]

Condizione sufficiente affinché esista il potenziale vettore è che il campo solenoidale B sia definito in un aperto fortemente connesso, ma per esempio il pagani-salsa ne da una dimostrazione solo nel caso in cui il dominio è un parallelepipedo in $RR^3$, e la dimostrazione è costruttiva

[DavideGenova1]

$\infty$ grazie! In Analisi matematica 2? Che capitolo?

[donald_zeka]

L'argomento viene trattato nel capitolo sugli integrali di superficie, dopo il teorema del rotore (ma nel pagani-salsa del vecchio ordinamento, non so se anche nel nuovo bramanti-pagani-salsa per il nuovo ordinamento)

[DavideGenova1]

Grazie di cuore! Bellissima, in quanto accessibile, dimostrazione, quella del Pagani-Salsa, che costruisce, per $\mathbf{V}\in C^1(A)$ con $A$ parallelepipedo retto aperto, un campo $\mathbf{F}$ tale che $\mathbf{V}=\text{rot}\mathbf{F}$ ponendo \(F_1\equiv 0\),$$F_2(x,y,z)=\int_{x_0}^x V_3(t,y,z) dt$$e$$F_3(x,y,z)=-\int_{x_0}^x V_2(t,y,z) dt+\int_{y_0}^y V_1(x_0,t,z) dt$$
Ora, derivando sotto il segno di integrale non mi sembra difficile provare che \(\mathbf{F}\in C^1(A)\) e \(\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial x}\in C^1(A)\) e che le componenti del rotore coincidono con quelle di $\mathbf{V}$, ma non mi riesce di dimostrare che \(\frac{\partial F_2}{\partial y}\), \(\frac{\partial F_3}{\partial y}\), \(\frac{\partial F_2}{\partial z}\) e \(\frac{\partial F_3}{\partial z}\) sono di classe $C^1$...
Qualcuno sarebbe tanto gentile da illustrarmi come si può dimostrare? $\infty$ grazie ancora...