Divergenza, flusso uscente da campo vettoriale
ho le due superfici $ B1 = {x^2+y^2+z^2=4, -1<=z<=0} $ e $ B2 = {x^2 + y^2 = 4(z - 1)^2, 0<=z<=1} $
e il campo vettoriale $ W = (xz + y^2, 2y + xz^2, z + xy) $
devo calcolare usando il teorema della divergenza il flusso di $ W $ uscente da $ B1 uu B2 $
dovrei calcolare "penso" $ int int_(B1) "div"W*n dx dy + int int_(B2) "div"W*n dx dy $
intanto $ "div"W = z + 3 " $ e questo era facile ma $ n $ ?
nonostante abbia già fatto esercizi simili sono in completa confusione e il risultato $ (95 pi)/(12) $ non combacia col mio trovato facendo giri pindarici su n ( a me torna $ 8 pi $ !? che per quanto sia vicino non è quello!
anzi 
)
e il campo vettoriale $ W = (xz + y^2, 2y + xz^2, z + xy) $
devo calcolare usando il teorema della divergenza il flusso di $ W $ uscente da $ B1 uu B2 $
dovrei calcolare "penso" $ int int_(B1) "div"W*n dx dy + int int_(B2) "div"W*n dx dy $
intanto $ "div"W = z + 3 " $ e questo era facile ma $ n $ ?
nonostante abbia già fatto esercizi simili sono in completa confusione e il risultato $ (95 pi)/(12) $ non combacia col mio trovato facendo giri pindarici su n ( a me torna $ 8 pi $ !? che per quanto sia vicino non è quello!
anzi )
Risposte
Ho l'impressione tu stia facendo un po' di confusione. La divergenza è uno scalare, mentre nella tua formula ne stai facendo un prodotto scalare con \(n\) che suppongo essere la tua normale alle superfici. Hai mischiato la parte destra e sinistra della formula usata nel teorema della divergenza. Nella tua formula dovresti avere semplicemente
\[ \iint_{B1} \boldsymbol{W}\,\cdot\,\boldsymbol{n}\;dx\,dy\; + \iint_{B2} \boldsymbol{W}\,\cdot\,\boldsymbol{n}\;dx\,dy. \]
L'idea dell'esercizio credo sia poi quella di capire quale sia la regione di spazio \(D\) per cui \( \partial D = B1 + B2 \) e quindi calcolare
\[ \iiint_D \mathrm{div}\,\boldsymbol{W}\;dx\,dy\,dz. \]
\[ \iint_{B1} \boldsymbol{W}\,\cdot\,\boldsymbol{n}\;dx\,dy\; + \iint_{B2} \boldsymbol{W}\,\cdot\,\boldsymbol{n}\;dx\,dy. \]
L'idea dell'esercizio credo sia poi quella di capire quale sia la regione di spazio \(D\) per cui \( \partial D = B1 + B2 \) e quindi calcolare
\[ \iiint_D \mathrm{div}\,\boldsymbol{W}\;dx\,dy\,dz. \]
quindi basta calcolare $ intintint_(D) (z + 3) dxdydz $
ma il problema è che non riesco a definire gli estremi relativamente a D
ad esempio direi -1 < z < 1
ma x e y !? .. brancolo nel buio.
ma il problema è che non riesco a definire gli estremi relativamente a D
ad esempio direi -1 < z < 1
ma x e y !? .. brancolo nel buio.
Come sono fatte \(B1\) e \(B2\)? È da questo che devi partire.. Noto in effetti che non è una superficie chiusa, per cui ci saranno probabilmente altre superfici da prendere in considerazione. \(B1\) è infatti parte della superficie della sfera centrata nell'origine di raggio \(2\). Ma siccome consideri solo i valori per \(-1 \leq z \leq 0\) sarà aperta da entrambi i lati. \(B2\) è invece un cono con il vertice in \((0,0,1)\). Per \(z = 0\) le due superfici sono coincidenti e l'intersezione è la circonferenza \( \{ z = 0 \; \wedge \; x^2 + y^2 = 4 \}. \) La superficie è quindi aperta nella parte inferiore e devi quindi chiudere la superficie usando qualcosa come la seguente
\[ B3 = \{ z = -1 \; \wedge \; x^2 + y^2 = 3 \}. \]
Per l'integrazione del dominio ti consiglio di separarlo nelle due parti \( -1 \leq z \leq 0 \) e \( 0 \leq z \leq 1 \) corrispondenti alle due superfici. Se scrivi \( \rho^2 = x^2 + y^2 \) gli intervalli di integrazione diventano \( 0 \leq \rho \leq \sqrt{4 - z^2} \) per la sfera e \( 0 \leq \rho \leq 2\,|z - 1| = 2\,(1 - z)\) per il cono.
\[ B3 = \{ z = -1 \; \wedge \; x^2 + y^2 = 3 \}. \]
Per l'integrazione del dominio ti consiglio di separarlo nelle due parti \( -1 \leq z \leq 0 \) e \( 0 \leq z \leq 1 \) corrispondenti alle due superfici. Se scrivi \( \rho^2 = x^2 + y^2 \) gli intervalli di integrazione diventano \( 0 \leq \rho \leq \sqrt{4 - z^2} \) per la sfera e \( 0 \leq \rho \leq 2\,|z - 1| = 2\,(1 - z)\) per il cono.
intanto ti ringrazio per le risposte e la cortesia
putroppo se prima avevo dei un certo numero di dubbi ora questo numero è aumentato (a volte penso di essere diventato un minus habens)
hai provato a risolvere l'esercizio? il tuo risultato è quello che avevo indicato a inizio post?
Se si sareresti così cortese da farmi lo svolgimento di modo che io me lo possa studiare per vedere di capirci qualcosa?
Se poi anche dallo studio dello svolgimento non ci capirò niente pazieza, mi resta sempre l'ippica!
ps.
mi sono messo come meta di risolvere un esercizio decisamente complicato o siamo nella normalità ?
putroppo se prima avevo dei un certo numero di dubbi ora questo numero è aumentato (a volte penso di essere diventato un minus habens)
hai provato a risolvere l'esercizio? il tuo risultato è quello che avevo indicato a inizio post?
Se si sareresti così cortese da farmi lo svolgimento di modo che io me lo possa studiare per vedere di capirci qualcosa?
Se poi anche dallo studio dello svolgimento non ci capirò niente pazieza, mi resta sempre l'ippica!
ps.
mi sono messo come meta di risolvere un esercizio decisamente complicato o siamo nella normalità ?
No, non ho provato a risolvere il problema per vedere se il risultato è corretto. Ma se hai dei dubbi cerchiamo di partire da quelli. Hai capito come sono fatte quelle superfici? Hai compreso cosa ti sta chiedendo di calcolare il teorema? Sai cosa dice il teorema della divergenza? Hai capito in quali situazioni va usato e come applicarlo a questo particolare problema?
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