Divergenza e laplaciano
ho una domanda molto veloce, riguardante un aspetto matematico di fisica (equazioni di maxwell).
il fatto di avere un campo E a divergenza nulla, non dovrebbe implicare che $nabla^2E = 0$?
edit
aggiungo una piccola cosa: la prima eq di maxwell nel vuoto è $ = 0$. andando poi a sostituirla con la terza equazione nella quarta, si ottiene l'equazione delle onde, ossia $nabla^2E = mu_0 epsilon_0 (partial^2 E)/(partial t^2)$. ma se la divergenza è nulla perchè il primo membro dell'equazione non è nullo?
edit II
credo di aver risolto, prima mi ero fissato sul fatto che le singole derivate parziali dovessero essere nulle, invece mi rendo conto che è la loro somma ad annullarsi, per cui non sembrano esserci anomalie
il fatto di avere un campo E a divergenza nulla, non dovrebbe implicare che $nabla^2E = 0$?
edit
aggiungo una piccola cosa: la prima eq di maxwell nel vuoto è $
edit II
credo di aver risolto, prima mi ero fissato sul fatto che le singole derivate parziali dovessero essere nulle, invece mi rendo conto che è la loro somma ad annullarsi, per cui non sembrano esserci anomalie
Risposte
Secondo me ti confondi con quest'altro fatto: se la divergenza di $vec{E}$ è nulla e $vec{E}$ proviene da un potenziale scalare $phi$, allora $nabla^2phi=0$. No?
no no, intendevo dire proprio quello che ho scritto sopra. quello che hai scritto tu equivale a dire che la divergenza di E è nulla.
io prima credevo che per avere divergenza nulla fosse necessario avere le singole derivate parziali nulle, per cui $partial_x E = 0 => partial_x^2 E = 0$ e analogamente per le altre variabili.. mi ci ero proprio fissato
io prima credevo che per avere divergenza nulla fosse necessario avere le singole derivate parziali nulle, per cui $partial_x E = 0 => partial_x^2 E = 0$ e analogamente per le altre variabili.. mi ci ero proprio fissato
Ma come fai ad applicare il laplaciano a un campo vettoriale se esso è la divergenza del gradiente della funzione a cui lo applichi?
L'equazione delle onde che io conosco comunque è [tex]$\frac{\partial ^2 E}{\partial x^2}= \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 E}{\partial t^2}$[/tex]. A primo membro hai la derivata seconda parziale rispetto a $x$ non il laplaciano.
L'equazione delle onde che io conosco comunque è [tex]$\frac{\partial ^2 E}{\partial x^2}= \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 E}{\partial t^2}$[/tex]. A primo membro hai la derivata seconda parziale rispetto a $x$ non il laplaciano.
"Antimius":
L'equazione delle onde che io conosco comunque è [tex]$\frac{\partial ^2 E}{\partial x^2}= \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 E}{\partial t^2}$[/tex]. A primo membro hai la derivata seconda parziale rispetto a $x$ non il laplaciano.
Viviamo in un mondo tridimensionale, fattene una ragione
Su quello posso farmene una ragione, anche perché queste cose le devo ancora studiare. Era solo qualche reminiscenza su cose che avevo letto.
Ma matematicamente non mi risulta che si possa fare il laplaciano di un campo vettoriale, a meno che non s'intenda il laplaciano delle singole componenti. Sbaglio?
Ma matematicamente non mi risulta che si possa fare il laplaciano di un campo vettoriale, a meno che non s'intenda il laplaciano delle singole componenti. Sbaglio?
Si può fare il laplaciano di un campo vettoriale, e brutalmente è il laplaciano delle singole componenti. Si possono dare definizioni intrinseche, comunque. Una facile:
$nabla^2vec{E}=nabla(nabla cdot vec{E}) - nabla times (nabla times vec{E}) $.
$nabla^2vec{E}=nabla(nabla cdot vec{E}) - nabla times (nabla times vec{E}) $.
Ah ok, grazie!
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