Divergenza di un integrale

[DavideGenova1]

Sia \(\varphi:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}\) una funzione due volte continuamente derivabile a supporto compatto, cioè \(\varphi\in C_c^2(\mathbb{R}^4)\). Sono convinto, per i motivi sotto in spoiler, che valga $$\nabla_x\cdot\int_\mathbb{R^3}\varphi(\boldsymbol{y},t-c^{-1}\| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|)\,\frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^3}\,d\mu_{\boldsymbol{y}}=4\pi\varphi(\boldsymbol{x},t)-\frac{1}{c}\int_\mathbb{R^3}\frac{\dot\varphi(\boldsymbol{y},t-c^{-1}\| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|)}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^2}\,d\mu_{\boldsymbol{y}}$$ dove \(\dot\varphi\) è la derivata parziale di \(\varphi:(\boldsymbol{\xi},\tau)\mapsto\varphi(\boldsymbol{\xi},\tau)\) rispetto alla seconda variabile, lineare, \(\tau\), gli integrali sono di Lebesgue (o equivalentemente limiti di integrali di Riemann), e \(\nabla_x\) è la divergenza calcolata rispetto alle componenti di \(\boldsymbol{x}\).

Sono convinto che valga questa uguaglianza perché il potenziale ritardato secondo la gauge di Lorenz dell'elettrodinamica \(V(\boldsymbol{x},t) :=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\mathbb{R^3}\frac{\rho(\boldsymbol{y},t-c^{-1}\| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|)}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|}d\mu_{\boldsymbol{y}}\) soddisfa l'identità \(\nabla_x^2 V(\boldsymbol{x},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 V(\boldsymbol{x},t)}{\partial t^2}= -\frac{\rho(\boldsymbol{x},t)}{\varepsilon}\). Adattando il ragionamento usato qui, vedo che $$\nabla_x V(\boldsymbol{x},t)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\mathbb{R^3}\frac{\rho(\boldsymbol{y},t-c^{-1}\| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|)(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^3}\,d\mu_{\boldsymbol{y}} $$ $$- \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 c}\int_\mathbb{R^3}\frac{\dot\rho(\boldsymbol{y},t-c^{-1}\| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|)(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^2}\,d\mu_{\boldsymbol{y}}$$ e, calcolando la divergenza dei due addendi applicando lo stesso ragionamento per derivare il secondo addendo sotto il segno di integrale, ottengo $$\nabla_x^2 V(\boldsymbol{x},t)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\nabla_x\cdot\int_\mathbb{R^3}\frac{\rho(\boldsymbol{y},t-c^{-1}\| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|)(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^3}\,d\mu_{\boldsymbol{y}}$$ $$- \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 c}\int_\mathbb{R^3}\frac{\dot\rho(\boldsymbol{y},t-c^{-1}\| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|)}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^2}\,d\mu_{\boldsymbol{y}} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 c^2}\int_\mathbb{R^3}\frac{\ddot\rho(\boldsymbol{y},t-c^{-1}\| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|)}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|}\,d\mu_{\boldsymbol{y}}.$$ Perciò l'identità \(\nabla^2 V-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}= -\frac{\rho}{\varepsilon}\) vale se e solo se vale l'uguaglianza che voglio dimostrare.

Come spiegato qui, vale $$\nabla_x\cdot\int_\mathbb{R^3}\varphi(\boldsymbol{y},t-c^{-1}\| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|)\frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^3}\,d\mu_{\boldsymbol{y}}= \int_\mathbb{R^3}\nabla_\xi\cdot\varphi(\boldsymbol{y},t-c^{-1}\| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|)\frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^3}\,d\mu_{\boldsymbol{y}}$$ dove uso la notazione \(\nabla_\xi\) per la divergenza di \(\varphi:(\boldsymbol{\xi},\tau)\mapsto\varphi(\boldsymbol{\xi},\tau)\) calcolata rispetto alle componenti della prima variabile, tridimensionale, \(\boldsymbol{\xi}\), ma non saprei come applicare questa identità per dimostrare l'uguaglianza di sopra. Inoltre mi è chiaro che non si può semplicemente spostare la divergenza rispetto alle componenti di \(\boldsymbol{x}\) sotto il segno di integrale.
Suppongo che si debba integrare per parti, ma non saprei come.
Mi sento ad un passo dalla soluzione del problema, relativo poi come spiegato in spoiler alla dimostrazione che \(\nabla^2 V\) \(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}= -\frac{\rho}{\varepsilon}\), ma non riesco a trovare il passo giusto...
Qualcuno sarebbe così buono da aiutarmi?
$\infty$ grazie a tutti!

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]