Divergenza della serie armonica

[Maryse1]

Allora, so che la serie armonica:

$ sum_(n = 1)^∞1/n $

diverge. Solo che per la dimostrazione, sul libro mi dice semplicemente che non essendo una successione limitata superiormente, allora diverge positivamente. Mentre sugli appunti mi ritrovo che devo usare il criterio di Cauchy..

Per Cauchy io so che la serie converge se e solo se, la successione delle somme parziali è di Cauchy, ovvero converge. Quindi se:

$ AA \epsi>0 EE nuinN: AAn,n+p>nu: |S(n+p)-S(n)|
non ho ben capito però, come viene utilizzato rispetto la serie armonica..potete aiutarmi?

[Noisemaker]

Data una serie numerica reale
$$ \sum_{n=1}^\infty a_n, \tag{1}$$
la serie da essa ottenuta, sopprimendo i primi $n$ termini (partendo dall'indice zero, si elimina fino al termine $a_{n-1}$ ), cioè la serie:
\begin{align*}
a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3} +....\quad (n=0, 1, 2, 3, ...)
\end{align*}
si chiama resto $n^{\text{mo}}$ della $(1),$ oppure resto dopo l'$n^{\text{mo}}$ termine. La somma parziale $k^{\text{ma}},$ che si indica con:
\begin{align*}
R_{n,k}= a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3} +...+a_{n+k}
\end{align*}
è legata alle somme parziali della serie $(1),$ dalla relazione:
\begin{align*}
R_{n,k}= S_{n+k}-S_n,
\end{align*}
che si presta ad alcune importanti considerazioni, primo fra tutti il criterio necessario e sufficiente di Cauchy
Criterio di Cauchy
La serie $(1)$ è convergente se e soltanto se, fissato $\varepsilon>0,$ si possa determinare un indice $p,$ tale che $\forall n\ge p$ e $\forall k\ge0,$ si abbia:
\begin{align}
\left|R_{n,k}\right|= | a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3} +...+a_{n+k}| <\varepsilon.\tag{2}
\end{align}
Per dimostrare che la serie armonica:
\begin{align}
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+.....
\end{align}
è divergente,basta osservare che se convergesse dovrebbe valere la $(2)$ per $n>p,$ qualunque sia il numero naturale $k,$ e quindi anche per $k=n.$ Essendo in questo caso
\begin{align*}
R_{n,k=n}= \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+\frac{1}{n+n}\ge\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2},
\end{align*}
cioè
\begin{align*}
R_{n,k}\ge \frac{1}{2}, \qquad \forall n\in\mathbb{N};
\end{align*}
da ciò segue che non esiste alcun indice $p$ a partire dal quale si possa verificare la $(2),$ per $k=n,$ se è $0<\varepsilon<1/2.$

[size=85]Personalemete, mi paece ricordare la prima dimostrazione della divergenza della serie armonica ad opera di Nicola Oresme $(ca. 1323-1382);$ essa parte dall'idea che, raggruppando opportunamente più termini consecutivi della serie, si può costruire una sottosuccessione della successsione $S_n$ che è divergente.
La successione delle somme parziali è:
\begin{align*}
S_1 = 1,\quad
S_2 = 1+\frac{1}{2},\quad
S_3 = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3},\quad\cdots,\quad
S_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \cdots+\frac{1}{n};
\end{align*}
considerando ora le somme parziali che hanno come indice una potenza di due, cioè:
\begin{align*}
S_2&= 1+ \frac{1}{2} \\
S_4&= 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)
\end{align*}
e certamente
$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2},$$
ma allora
$$S_4>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+2\cdot\frac{1}{2} ;$$
\begin{align*}
S_8&= \underbrace{1+\frac{1}{2}}_{>1/2} + \underbrace{ \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)}_{>1/2} + \underbrace{\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)}_{>1/2}
\end{align*}
e certamente
$$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$$
ma allora
$$S_8> 1+2\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+3\cdot\frac{1}{2};$$
osservando i risultati ottenuti abbiamo che
\begin{align*}
S_{2^1}&> 1+ 1\cdot\frac{1}{2},\,\,\, S_{2^2}> 1+2\cdot\frac{1}{2},\,\,\, S_{2^3}> 1+3\cdot\frac{1}{2},\cdots,\,\,\, S_{2^k}> 1+k\cdot\frac{1}{2},
\end{align*}
ed evidentemente si ha che quando $n\to+\infty$
\begin{align*}
\lim_{n \to+ \infty}S_{2^k}= \lim_{n \to+ \infty} 1+k\cdot\frac{1}{2}=+\infty;
\end{align*}
dunque la abbiamo trovato una sottosuccessione estratta dalla $S_n$ che è illimitata superiormente: ma allora anche la successione da cui siamo partiti è illimitata superiormente, e dunque $S_n$ deve necessariamente divergere. [/size]

[Maryse1]

Grazie mille per entrambe le dimostrazioni

[theras]

Ne aggiungo una per completezza,
e perché m'è sempre piaciuta molto per la linearità ed "elementarità" dei mezzi che usa:
Dim.
E' noto dalla teoria delle successioni come $"sup"_(n in NN)(1+1/n)^n=e rArr (1+1/n)^n le e$ $AA n in NN$
(il segno di uguale potremmo risparmiarcelo, ma in questo conteso poco ce ne cale )$ rArr$
$rArr log(1+1/n)^n le log e$ $AA n in NN rArr n log(1+1/n) le 1$ $AA n in NN rArr log(1+1/n) le 1/n$ $AA n in NN$:
la tesi è allora conseguenza d'un noto teorema di confronto e del fatto che la serie numerica $sum_(n=1)^(+oo)log(1+1/n)=sum_(n=1)^(+oo)[log(n+1)-logn]$,
essendo "telescopica" con successione delle somme parziali di termine generale $log(n+1)$,
per definizione diverge positivamente.
Saluti dal web.