Ditemi dove sbaglio (Successione definita per ricorrenza)
Ciao ragazzi, non riesco a capire una cosa.
In pratica quando ho da risolvere una successione definita per ricorrenza da una legge utilizzo ormai sempre lo stesso metodo. A volte risulta, altre no. Quindi non riesco a capire se è il metodo che non va applicato in tutti i casi oppure se semplicemente sbaglio qualche calcolo io.
Adesso vi scrivo il procedimento con un semplicissimo esercizio così capite meglio cosa intendo.
Se ho questo esercizio:
Calcolare il limite della successione definita per ricorrenza dalla legge:
$\{(a_n=1) , (a_(n+1)=a_n/((sqrt(a_n)+1))):}$
Io per prima cosa calcolo $\phi(t)=0 -> t/((sqrt(t)+1))-t=0 -> t=0$;
dopodichè calcolo $\phi(t)>0$ per vedere dove la successione cresce ed ottengo $\phi(t)=0 -> t<0$.
A questo punto posso concludere che la successione data cresce per $a_n<0$ e decresce per $a_n>0$. Nel nostro caso $a_n=1>0$ e quindi la successione definita per ricorrenza decresce e tende a $0$. ($f(0;+infty) a_n->0$).
Ditemi dove e se sbaglio ç_ç
Grazie anticipatamente.
In pratica quando ho da risolvere una successione definita per ricorrenza da una legge utilizzo ormai sempre lo stesso metodo. A volte risulta, altre no. Quindi non riesco a capire se è il metodo che non va applicato in tutti i casi oppure se semplicemente sbaglio qualche calcolo io.
Adesso vi scrivo il procedimento con un semplicissimo esercizio così capite meglio cosa intendo.
Se ho questo esercizio:
Calcolare il limite della successione definita per ricorrenza dalla legge:
$\{(a_n=1) , (a_(n+1)=a_n/((sqrt(a_n)+1))):}$
Io per prima cosa calcolo $\phi(t)=0 -> t/((sqrt(t)+1))-t=0 -> t=0$;
dopodichè calcolo $\phi(t)>0$ per vedere dove la successione cresce ed ottengo $\phi(t)=0 -> t<0$.
A questo punto posso concludere che la successione data cresce per $a_n<0$ e decresce per $a_n>0$. Nel nostro caso $a_n=1>0$ e quindi la successione definita per ricorrenza decresce e tende a $0$. ($f(0;+infty) a_n->0$).
Ditemi dove e se sbaglio ç_ç
Grazie anticipatamente.
Risposte
Sbagli quando dici che $phi(t)$ cresce per $t<0$ (o almeno così ho capito io...): infatti $phi$ è definita solo per $t>=0$.
Inoltre, il fatto che $(a_n)$ sia decrescente lo puoi subito trarre dalla maggiorazione $t/(sqrt(t)+1)
Visto che $(a_n)$ è una successione non-negativa e strettamente decrescente, esiste $lim_n a_n=L$; tale $L$ può essere o $-oo$ oppure finito ma, essendo $a_n>=0$, il caso $L=-oo$ non può presentarsi; quindi $L$ è finito ed il suo valore si trova passando al limite nella relazione che definisce per ricorrenza la successione (perchè?); perciò devi risolvere l'equazione $L=L/(sqrt(L)+1)$ che implica $L=0$ (come hai giustamente detto tu).
Possiamo così concludere che $lim_n a_n=0$.
Inoltre, il fatto che $(a_n)$ sia decrescente lo puoi subito trarre dalla maggiorazione $t/(sqrt(t)+1)
Visto che $(a_n)$ è una successione non-negativa e strettamente decrescente, esiste $lim_n a_n=L$; tale $L$ può essere o $-oo$ oppure finito ma, essendo $a_n>=0$, il caso $L=-oo$ non può presentarsi; quindi $L$ è finito ed il suo valore si trova passando al limite nella relazione che definisce per ricorrenza la successione (perchè?); perciò devi risolvere l'equazione $L=L/(sqrt(L)+1)$ che implica $L=0$ (come hai giustamente detto tu).
Possiamo così concludere che $lim_n a_n=0$.
ah si scusa non avevo considerato il campo di esistenza della radice. Ma quindi, a parte quest'errore, è giusto il procedimento? Posso applicarlo anche in altre successioni sempre definite per ricorrenza oppure devo considerare qualcos'altro? (spesso mi trovo successioni trigonometriche definite per ricorrenza)
Raga nessuno saprebbe aiutarmi?
scusate se uppo la discussione ma domani ho l'esame ç_ç
ditemi solo se il procedimento che ho applicato è valido in qualsiasi successione (anche trigonometrica) definita per ricorrenza da una legge...
grazie mille anticipatamente
scusate se uppo la discussione ma domani ho l'esame ç_ç
ditemi solo se il procedimento che ho applicato è valido in qualsiasi successione (anche trigonometrica) definita per ricorrenza da una legge...
grazie mille anticipatamente
raga per favore ç_ç tra 12 ore e 16 minuti ho l'esame e nel 2012 finisce il mondo ç_ç aiutatemi ç_ç
Beh, lo studio delle successioni definite per ricorrenza non è la cosa più semplice del mondo; dipende tutto dalla funzione che serve definire la relazione ricorrente, dalla sua monotonia, dalla convessità e via dicendo.
Supponiamo che $(a_n)$ sia assegnata mediante:
$\{(a_1=\bar(t)),(a_(n+1)=phi(a_n)):}$
ove $phi:I\to RR$ continua in $I\subseteq RR$.
La prima cosa da fare è stabilire quali sono i punti fissi, al finito ed (eventualmente) all'inifinito, di $phi$; in altre parole, si deve risolvere in $I$ l'equazione $t=phi(t)$*.
Risolvere tale equazione è importante perchè, se $(a_n)$ converge, allora il limite $a$ di $(a_n)$ è una soluzione di $t=phi(t)$ (per continuità di $phi$). Pertanto, se il problema $t=phi(t)$ non ha soluzioni in $I$, la $(a_n)$ non può convergere.
Determinati i punti fissi di $phi$ abbiamo dei candidati ad essere il limite della nostra successione definita per ricorrenza; quindi il problema si sposta sulla successione stessa, in quanto abbiamo bisogno di un risultato di regolarità che ci assicuri che la $(a_n)$ abbia effettivamente un limite.
Come ottenere un risultato di regolarità?
In generale non c'è un'unica ricetta.
Una buona cosa è stabilire se, ad esempio, la successione $(a_n)$ è monotona, poichè in tal caso si può invocare il teorema sulla regolarità delle successioni monotone. Un modo semplice di stabilire la monotonia di $(a_n)$ è cercare di vedere se è verificata una disuguaglianza del tipo $t<=phi(t)$ oppure $t>=phi(t)$ in $I$: se fosse verificata una delle due disuguaglianze si avrebbe $a_n<=phi(a_n)=a_(n+1)$ oppure $a_n>=phi(a_n)=a_(n+1)$, quindi $(a_n)$ sarebbe monotona.
Un'altra possibilità per provare la regolarità di $(a_n)$ è stabilire se la $phi$ ha per immagine un compatto e se essa è lipschitziana con costante di Lipschitz $<1$, ossia se risulta $|phi(t)-phi(tau)|
$|a_(n+p)-a_n|<= \sum_(i=1)^p |a_(n+i)-a_(n+i-1)|=\sum_(i=1)^p |phi(a_(n+i))-phi(a_(n+i-1))|$
$\quad <= \sum_(i=1)^p L^(n+i-2) |a_2-a_1|$
$\quad =|a_2-a_1| \ \sum_(i=n-1)^(n+p-2) L^i$
$\quad =|a_2-a_1| \ \sum_(i=n-1)^(+oo) L^i$
ed il fattore $\sum_(i=n-1)^(+oo) L^i$ è infinitesimo perchè è la successione dei resti di una serie convergente. Ne viene che $(a_n)$ è di Cauchy nell'immagine di $phi$ che è compatta, quindi $(a_n)$ converge. Per provare che $phi$ è lipschitziana basta, ad esempio, provare che la sua derivata prima ha $"sup"|phi'|<1$.
Altro al momento non mi viene in mente; sicuramente ci sono altri metodi, però. Potresti vedere su Giusti, Esercizi e Complementi di Analisi Metematica, mi pare che lì qualcosa c'è.
Acquisita la regolarità di $(a_n)$, si deve poi determinare quello tra i punti fissi di $phi$ che è il limite di $(a_n)$.
Pure qui hai diversi modi che puoi scegliere, ma dipende sempre molto da $phi$.
Più di questo, al momento non so dirti, mi spiace. Spero d'esserti stato utile lo stesso.
__________
* Qui non intendo necessariamente "risolvere" come "dire esattamente quali sono i valori di $t$ verificanti l'equazione"; il verbo "risolvere" è inteso in senso lato, cioè "è necessario sapere se ci sono e quante sono le soluzioni dell'equazione".
Supponiamo che $(a_n)$ sia assegnata mediante:
$\{(a_1=\bar(t)),(a_(n+1)=phi(a_n)):}$
ove $phi:I\to RR$ continua in $I\subseteq RR$.
La prima cosa da fare è stabilire quali sono i punti fissi, al finito ed (eventualmente) all'inifinito, di $phi$; in altre parole, si deve risolvere in $I$ l'equazione $t=phi(t)$*.
Risolvere tale equazione è importante perchè, se $(a_n)$ converge, allora il limite $a$ di $(a_n)$ è una soluzione di $t=phi(t)$ (per continuità di $phi$). Pertanto, se il problema $t=phi(t)$ non ha soluzioni in $I$, la $(a_n)$ non può convergere.
Determinati i punti fissi di $phi$ abbiamo dei candidati ad essere il limite della nostra successione definita per ricorrenza; quindi il problema si sposta sulla successione stessa, in quanto abbiamo bisogno di un risultato di regolarità che ci assicuri che la $(a_n)$ abbia effettivamente un limite.
Come ottenere un risultato di regolarità?
In generale non c'è un'unica ricetta.
Una buona cosa è stabilire se, ad esempio, la successione $(a_n)$ è monotona, poichè in tal caso si può invocare il teorema sulla regolarità delle successioni monotone. Un modo semplice di stabilire la monotonia di $(a_n)$ è cercare di vedere se è verificata una disuguaglianza del tipo $t<=phi(t)$ oppure $t>=phi(t)$ in $I$: se fosse verificata una delle due disuguaglianze si avrebbe $a_n<=phi(a_n)=a_(n+1)$ oppure $a_n>=phi(a_n)=a_(n+1)$, quindi $(a_n)$ sarebbe monotona.
Un'altra possibilità per provare la regolarità di $(a_n)$ è stabilire se la $phi$ ha per immagine un compatto e se essa è lipschitziana con costante di Lipschitz $<1$, ossia se risulta $|phi(t)-phi(tau)|
$|a_(n+p)-a_n|<= \sum_(i=1)^p |a_(n+i)-a_(n+i-1)|=\sum_(i=1)^p |phi(a_(n+i))-phi(a_(n+i-1))|$
$\quad <= \sum_(i=1)^p L^(n+i-2) |a_2-a_1|$
$\quad =|a_2-a_1| \ \sum_(i=n-1)^(n+p-2) L^i$
$\quad =|a_2-a_1| \ \sum_(i=n-1)^(+oo) L^i$
ed il fattore $\sum_(i=n-1)^(+oo) L^i$ è infinitesimo perchè è la successione dei resti di una serie convergente. Ne viene che $(a_n)$ è di Cauchy nell'immagine di $phi$ che è compatta, quindi $(a_n)$ converge. Per provare che $phi$ è lipschitziana basta, ad esempio, provare che la sua derivata prima ha $"sup"|phi'|<1$.
Altro al momento non mi viene in mente; sicuramente ci sono altri metodi, però. Potresti vedere su Giusti, Esercizi e Complementi di Analisi Metematica, mi pare che lì qualcosa c'è.
Acquisita la regolarità di $(a_n)$, si deve poi determinare quello tra i punti fissi di $phi$ che è il limite di $(a_n)$.
Pure qui hai diversi modi che puoi scegliere, ma dipende sempre molto da $phi$.
Più di questo, al momento non so dirti, mi spiace. Spero d'esserti stato utile lo stesso.
__________
* Qui non intendo necessariamente "risolvere" come "dire esattamente quali sono i valori di $t$ verificanti l'equazione"; il verbo "risolvere" è inteso in senso lato, cioè "è necessario sapere se ci sono e quante sono le soluzioni dell'equazione".
ok grazie mille gugo, vedrò di approfondire meglio anche se sei stato molto esauriente 
grazie ancora ciau
grazie ancora ciau
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