Disuguglianza con val. assoluto e Es. su continuità

[Andrew Ryan]

Ho svolto un esonero di calcolo differenziale sugli argomenti che trovate nel titolo ma ho trovato delle difficoltà,tra l'altro sul libro (che mi sembra valido ed è molto conosciuto) non c'era alcun esempio su questa tipologia di esercizi che sto per scrivervi:

Trovare i valori di $a$ per i quali la funzione è continua su tutto l'asse reale
$ f_a(x)={ ((x-a)^2,if x<=-1),(x-a,if -11):} $

come diavolo si svolge?

Risolvere la seguente Disuguaglianza
$ x+1
L'ho svolto provando prima per $x>=0$ soffermandomi prima sulla parte $ x+1

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Risposte

retrocomputer

14 nov 2012, 17:05

"Andrew Ryan":
Trovare i valori di $a$ per i quali la funzione è continua su tutto l'asse reale
$ f_a(x)={ ((x-a)^2,if x<=-1),(x-a,if -11):} $

come diavolo si svolge?

Visto che le tre espressioni che definiscono la $f_a$ sono continue, devi solo assicurarti che ci sia continuità anche nei punti comuni, cioè -1 e 1. Cioè devi cercare $a$ tale che la prima espressione sia uguale alla seconda in -1 e tale che la seconda sia uguale alla terza in 1. Va bene?

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Andrew Ryan

14 nov 2012, 21:41

"retrocomputer":[quote="Andrew Ryan"]
Trovare i valori di $a$ per i quali la funzione è continua su tutto l'asse reale
$ f_a(x)={ ((x-a)^2,if x<=-1),(x-a,if -11):} $

come diavolo si svolge?

Visto che le tre espressioni che definiscono la $f_a$ sono continue, devi solo assicurarti che ci sia continuità anche nei punti comuni, cioè -1 e 1. Cioè devi cercare $a$ tale che la prima espressione sia uguale alla seconda in -1 e tale che la seconda sia uguale alla terza in 1. Va bene?[/quote]ovvero $a=-2$ ? in modo che per $x=-1$ la funzione mi dia 1 come risultato

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Obidream

15 nov 2012, 00:24

Secondo me dovresti usare la definizione di funziona continua in $x_0$, ovvero:

$lim_(x->x_0) f(x)=f(x_0)$, ovvero $lim_(x->x_0^-)f(x)=lim_(x->x_0^+)=f(x_0)$

Quindi per la continuità in $x=1$

$ f_a(x)={ ((x-a)^2,if x<=-1),(x-a,if -11):} $

$lim_(x->1^-)f_a(x)=lim_(x->1^+) f_a(x)$

$lim_(x->1^-)x-a=lim_(x->1^+)2x^2$

$1-a=2$ quindi $a=-1$

Tra l'altro questo si poteva risolvere facilmente perché in fondo si tratta di parabole e rette quindi graficamente si riesce a capire il valore di $a$, però con funzioni più complesse non è sempre immediato... Lascio a te il caso $x=-1$

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Andrew Ryan

15 nov 2012, 18:35

la disuguglianza invece andava svolta come ho detto io?

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Obidream

15 nov 2012, 18:58

Si, esatto, se non sbaglio non dovrebbe avere soluzioni in $RR$

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[retrocomputer]

"Andrew Ryan":
Trovare i valori di $a$ per i quali la funzione è continua su tutto l'asse reale
$ f_a(x)={ ((x-a)^2,if x<=-1),(x-a,if -11):} $

come diavolo si svolge?

Visto che le tre espressioni che definiscono la $f_a$ sono continue, devi solo assicurarti che ci sia continuità anche nei punti comuni, cioè -1 e 1. Cioè devi cercare $a$ tale che la prima espressione sia uguale alla seconda in -1 e tale che la seconda sia uguale alla terza in 1. Va bene?

[Andrew Ryan]

"retrocomputer":[quote="Andrew Ryan"]
Trovare i valori di $a$ per i quali la funzione è continua su tutto l'asse reale
$ f_a(x)={ ((x-a)^2,if x<=-1),(x-a,if -11):} $

come diavolo si svolge?

Visto che le tre espressioni che definiscono la $f_a$ sono continue, devi solo assicurarti che ci sia continuità anche nei punti comuni, cioè -1 e 1. Cioè devi cercare $a$ tale che la prima espressione sia uguale alla seconda in -1 e tale che la seconda sia uguale alla terza in 1. Va bene?[/quote]ovvero $a=-2$ ? in modo che per $x=-1$ la funzione mi dia 1 come risultato

[Obidream]

Secondo me dovresti usare la definizione di funziona continua in $x_0$, ovvero:

$lim_(x->x_0) f(x)=f(x_0)$, ovvero $lim_(x->x_0^-)f(x)=lim_(x->x_0^+)=f(x_0)$

Quindi per la continuità in $x=1$

$ f_a(x)={ ((x-a)^2,if x<=-1),(x-a,if -11):} $

$lim_(x->1^-)f_a(x)=lim_(x->1^+) f_a(x)$

$lim_(x->1^-)x-a=lim_(x->1^+)2x^2$

$1-a=2$ quindi $a=-1$

Tra l'altro questo si poteva risolvere facilmente perché in fondo si tratta di parabole e rette quindi graficamente si riesce a capire il valore di $a$, però con funzioni più complesse non è sempre immediato... Lascio a te il caso $x=-1$

[Andrew Ryan]

la disuguglianza invece andava svolta come ho detto io?

[Obidream]

Si, esatto, se non sbaglio non dovrebbe avere soluzioni in $RR$