Disugualianza di Cauchy Schwarz
Ciao a tutti ,
Volevo chiedere se è possibile dimostrare la disuguaglianza a^4 + b^4 + c^4 < 64/3 mediante la disuguaglianza di Schwarz e sapendo che a^2 + b^2 + c^2 = 8 .
Grazie , Simone
Volevo chiedere se è possibile dimostrare la disuguaglianza a^4 + b^4 + c^4 < 64/3 mediante la disuguaglianza di Schwarz e sapendo che a^2 + b^2 + c^2 = 8 .
Grazie , Simone
Risposte
Manca almeno un uguale a quella disuguaglianza, per il caso \(a = b = c = 2\sqrt\frac 2 3\).
[xdom="gugo82"]Che bisogno c'è di urlare?
Modifica il titolo, eliminando il tutto-maiuscolo.[/xdom]
Modifica il titolo, eliminando il tutto-maiuscolo.[/xdom]
MI sembra più facile senza Cauchy-Schwarz ma mi trovo $>=$ invece di $<=$ e non mi riesce di capire
se sbaglio dove sbaglio.
Parto dall'eguaglianza :
$3(a^4+b^4+c^4)=(a^2+b^2+c^2)^2+(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2$
Da qui si deduce che é:
$3(a^4+b^4+c^4)>=(a^2+b^2+c^2)^2$
da cui:
$a^4+b^4+c^4>=(a^2+b^2+c^2)^2/3=(64)/3$
L'eguaglianza si raggiunge ovviamente quando $a^2=b^2=c^2=8/3$
se sbaglio dove sbaglio.
Parto dall'eguaglianza :
$3(a^4+b^4+c^4)=(a^2+b^2+c^2)^2+(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2$
Da qui si deduce che é:
$3(a^4+b^4+c^4)>=(a^2+b^2+c^2)^2$
da cui:
$a^4+b^4+c^4>=(a^2+b^2+c^2)^2/3=(64)/3$
L'eguaglianza si raggiunge ovviamente quando $a^2=b^2=c^2=8/3$
Beh la disuguaglianza di cauchy volendo non è difficilissima da usare, basta impostare le cose in modo coerente.
Prendi lo spazio euclideo $(RR^3,*)$ dove $RR^3$ è lo spazio vettoriale e $*$ ps. standard e riferimento canonico.
puoi anche non fare tutte queste considerazioni, è per completezza.
Sai che prendendo $vec(v)=(a,b,c)$ hai che $||vec(v)||^2=a^2+b^2+c^2=8$ ovvero $||vec(v)||=2sqrt2$
Il vettore $vec(w)=(a^2,b^2,c^2)$ è tale che $||vec(w)||^2=a^4+b^4+c^4$
Aggiungiamo un altro vettore, chiamiamolo $vec(u)=(1,1,1)$
Per la disuguaglianza di cauchy sappiamo che $|(u*w)|leq||u||*||w||$
Poiché $u$ è non nullo allora $||w||geq|(u*w)|/(||u||)$
Considerando che è tutto positivo, possiamo quadrare ottenendo
$||w||^2geq(u*w)^2/(||u||^2)$
$a^4+b^4+c^4geq(1*a^2+1*b^2+1*c^2)^2/(||u||^2)$
Abbiamo praticamente concluso perché $||u||=sqrt3$, quindi otteniamo praticamente la seguente
$a^4+b^4+c^4=||w||geq||v||^4/||u||^2=64/3$
Come ti hanno fatto notare l’uguaglianza se e solo se $a=b=c=2sqrt(2/3)$
Ovvero tradotto in termini della disuguaglianza di Cauchy se $exists lambda inRR_0:lambdavec(u)=vec(w)$
Ovvero se $(lambda,lambda,lambda)=(a,b,c)$ da cui deve essere $a=b=c$ e quindi dalla prima informazione che hai deve essere $3a^2=8$ ossia $a=b=c=2sqrt(2/3)$
Prendi lo spazio euclideo $(RR^3,*)$ dove $RR^3$ è lo spazio vettoriale e $*$ ps. standard e riferimento canonico.
puoi anche non fare tutte queste considerazioni, è per completezza.
Sai che prendendo $vec(v)=(a,b,c)$ hai che $||vec(v)||^2=a^2+b^2+c^2=8$ ovvero $||vec(v)||=2sqrt2$
Il vettore $vec(w)=(a^2,b^2,c^2)$ è tale che $||vec(w)||^2=a^4+b^4+c^4$
Aggiungiamo un altro vettore, chiamiamolo $vec(u)=(1,1,1)$
Per la disuguaglianza di cauchy sappiamo che $|(u*w)|leq||u||*||w||$
Poiché $u$ è non nullo allora $||w||geq|(u*w)|/(||u||)$
Considerando che è tutto positivo, possiamo quadrare ottenendo
$||w||^2geq(u*w)^2/(||u||^2)$
$a^4+b^4+c^4geq(1*a^2+1*b^2+1*c^2)^2/(||u||^2)$
Abbiamo praticamente concluso perché $||u||=sqrt3$, quindi otteniamo praticamente la seguente
$a^4+b^4+c^4=||w||geq||v||^4/||u||^2=64/3$
Come ti hanno fatto notare l’uguaglianza se e solo se $a=b=c=2sqrt(2/3)$
Ovvero tradotto in termini della disuguaglianza di Cauchy se $exists lambda inRR_0:lambdavec(u)=vec(w)$
Ovvero se $(lambda,lambda,lambda)=(a,b,c)$ da cui deve essere $a=b=c$ e quindi dalla prima informazione che hai deve essere $3a^2=8$ ossia $a=b=c=2sqrt(2/3)$
Ringrazio Massimoaa per la risposta fornita - che riteno corretta - , ma il mio obbiettivo ero dimostrare che è possibile sfruttare il teorema di cauchy-schwarz per dimostrare semplici disuguaglianze ; quindi ritengo la risposta di anto_zoolander più appropriata . Grazie comunque ad entrambi .
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