Disuguaglianze fra i moduli di numeri complessi

[Overflow94]

1) If $a$ and $b$ are complex numbers, prove that:
a) $|a - b|^2 <= (1 + |a|^2)(1 + |b|^2)$
b) If $a != 0$, then $|a + b| = |a| + |b|$ if, and only if, $b/a$ is real and nonnegative.

2) If $a$ and $b$ are complex numbers, prove that $|a-b|=|1-\bar(a)b|$ if, and only if, $|a| = 1$ or $|b| = 1$. For which $a$ and $b$ is the inequality $|a - b| < |1 - \bar(a)b|$ valid?

Per l'1-b), con $a=a_1 + a_2i$ e $b=b_1 + b_2i$, abbiamo:

$|a + b|^2 = (a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2$
$(|a| + |b|)^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|$

Quindi è necessario che $ = |a||b|$ che è vero solo quando i vettori sono paralleli e hanno lo stesso verso, viceversa se i vettori sono paralleli e hanno lo stesso verso si può mostrare che l'uguaglianza è vera.

Mi manca 1-a) e il 2).

[marco.ve1]

Suggerimento per 1-a : $|a-b|^2\le (|a|+|b|)^2$ e per 2: passa ai quadrati e usa $|x|^2=x\bar{x}$

[pilloeffe]

Ciao Overflow94,

Per la 2) in alternativa si può dimostrare preliminarmente che $\AA a \in \CC $ e $\AA b \in \CC $ si ha:

$|1-\bar{a}b|^2-|a-b|^2 = (1-|a|^2)(1-|b|^2) $

Infatti si ha:

$|1-\bar{a}b|^2-|a-b|^2 = (1-\bar{a}b)\bar{(1-\bar{a}b)} - (a - b)\bar{(a - b)} = (1-\bar{a}b)(1-a\bar{b}) - (a - b)(\bar{a} - \bar{b}) = $
$ = 1 - a\bar{b} - \bar{a}b + |a|^2|b|^2 - |a|^2 + a\bar{b} + \bar{a}b - |b|^2 = 1 + |a|^2|b|^2 - |a|^2 - |b|^2 = (1-|a|^2)(1-|b|^2) $

Per la 1-a) in modo analogo si può dimostrare che si ha:

$ |a - b|^2 + |1 + \bar{a} b|^2 = (1 +|a|^2)(1 + |b|^2) $

[Overflow94]

Grazie mille, tutto molto chiaro