Disuguaglianze di Young.
Salve ragazzi 
Ho bisogno di una mano nella dimostrazione della disuguaglianza di Young, ma ora mi spiego meglio.
La disuguaglianza:
$ab\leq\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{p'}b^{p'}$ con $a,b\in\R$ e $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$
la deduco facilmente sfruttando la concavità della funzione log su $ ]0,+\infty[$.
Il problema è che per i miei scopi è conveniente la forma:
$ab\leq\epsilon a^p+C_{\epsilon}b^{p'}$ con $C_{\epsilon}=\epsilon^{-\frac{1}{p-1}}$ e $\epsilon\in]0,1]$.
Qualcuno ha idee per la dimostrazione o può consigliarmi un testo su cui reperirla? (io l'ho trovata in una minuscola nota a piè pagina del Brezis
)
Ho bisogno di una mano nella dimostrazione della disuguaglianza di Young, ma ora mi spiego meglio.La disuguaglianza:
$ab\leq\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{p'}b^{p'}$ con $a,b\in\R$ e $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$
la deduco facilmente sfruttando la concavità della funzione log su $ ]0,+\infty[$.
Il problema è che per i miei scopi è conveniente la forma:
$ab\leq\epsilon a^p+C_{\epsilon}b^{p'}$ con $C_{\epsilon}=\epsilon^{-\frac{1}{p-1}}$ e $\epsilon\in]0,1]$.
Qualcuno ha idee per la dimostrazione o può consigliarmi un testo su cui reperirla? (io l'ho trovata in una minuscola nota a piè pagina del Brezis
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Risposte
Per provare la disuguaglianza di Young con \(\varepsilon\) basterebbe dimostrare che la funzione \(f(a,b):=\frac{ab-\varepsilon a^p}{b^{p^\prime}}\) ha massimo \(=C(\varepsilon)\).
Prova un po'.
Prova un po'.
Non sono convinta, mostro ciò che ho fatto...
Considerata $f(a,b)=\frac{ab-\epsilon a^p}{b^{\frac{p}{p-1}}}$, calcolo la derivata parziale rispetto ad $a$, e imponendo essa uguale a zero, ottengo $b=\epsilon p a^{p-1}$. Quindi calcolo $f$ in $a$ generico e siffatto $b$ ottenendo
\[
f(a,\epsilon p a^{p-1})=\epsilon^{-\frac{1}{p-1}}\frac{p-1}{p^{\frac{p}{p-1}}}.
\]
Osservando che $\frac{p-1}{p^{\frac{p}{p-1}}}<1$, deduco $f(a,b)<\epsilon^{-\frac{1}{p-1}}$
Considerata $f(a,b)=\frac{ab-\epsilon a^p}{b^{\frac{p}{p-1}}}$, calcolo la derivata parziale rispetto ad $a$, e imponendo essa uguale a zero, ottengo $b=\epsilon p a^{p-1}$. Quindi calcolo $f$ in $a$ generico e siffatto $b$ ottenendo
\[
f(a,\epsilon p a^{p-1})=\epsilon^{-\frac{1}{p-1}}\frac{p-1}{p^{\frac{p}{p-1}}}.
\]
Osservando che $\frac{p-1}{p^{\frac{p}{p-1}}}<1$, deduco $f(a,b)<\epsilon^{-\frac{1}{p-1}}$
please help me 
[xdom="gugo82"]Non sono consentiti "up" nell'arco di 24 ore (cfr. regolamento, 3.4).
Blocco per 24 ore.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Sbloccato.[/xdom]
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