Disuguaglianze con \(\epsilon>0\)

[5mrkv]

Siano \(a,b,\epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon >0\) allora se \(|a-b|<\epsilon\ \forall \epsilon \) ponendo \(\epsilon=|a-b|\) si ha \(|a-b|<|a-b|\) e violando la relazione d'ordine in \(\mathbb{R}\) deve per forza essere \(|a-b|=0\Rightarrow a=b\) ? E' parte della dimostrazione dell'unicità del limite per le successioni ma viene dato per scontato dal libro

Siano \(a,b,\epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon >0\) allora se \(a< b +\epsilon\ \forall \epsilon\) supponendo \(a-b< 0\) pongo \(\epsilon=b-a\) quindi \(a-b
Oppure si potrebbe passare al limite da entrambe le parti? In un mio vecchio post mi sembra che gugo aveva fatto così, ma non riesco a capire bene la validità della tesi dopo il passaggio al limite

[gugo82]

"5mrkv":Siano \(a,b,\epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon >0\) allora se \(a< b +\epsilon\ \forall \epsilon\) supponendo \(a-b< 0\) pongo \(\epsilon=b-a\) quindi \(a-b
Ragionamento inutile: supponendo \(a-b<0\) trai \(a
Da \(\forall \epsilon >0,\ a0,\ a

Cita

Segnala

[5mrkv]

"gugo82":[quote="5mrkv"]Siano \(a,b,\epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon >0\) allora se \(a< b +\epsilon\ \forall \epsilon\) supponendo \(a-b< 0\) pongo \(\epsilon=b-a\) quindi \(a-b
Ragionamento inutile: supponendo \(a-b<0\) trai \(a [/quote]
Supponendo \(b-a<0\) pongo \(\epsilon=a-b\) quindi \(a-b
Edit: Ah vero, la presunzione di fare le cose a mente, anche \(a=b\) da un risultato vero quindi \(a\leq b\).