Disuguaglianze a limite

[anto_zoolander]

Wwwe

Supponiamo di avere una certa $f:(a,+infty)->RR,a inRR$ con $f$ derivabile su tutto $(a,+infty)$ tale che $f(x)geq0forallx in(a,+infty)$

Mi ricordo che una volta mi venne detto che al limite le disuguaglianze si indeboliscono, per esempio $geq$ diventa $>$
Ma se questo fosse vero, presa $f(x)=1/x,forallx in(0,+infty)$

Essendo $f(x)geq0=>lim_(x->+infty)f(x)>0$ ma sappiamo che il limite è $0$.

Detto questo, mi è stata detta una cosa falsa?

Anche perché molte dimostrazioni del teorema di Fermat sui punti stazionari usa proprio le disugualianze.

Anzi io oserei dire che si rafforzano. Nell'esempio precedente, è vero che $geq$ è vera anche solo se $>$ è vera, ma se anche dicessi $f(x)>0$ avrei che il limite sarà $geq0$. In particolare,'in questo caso, farà $0$

[Ziben]

Ciao,
io ho sempre saputo che se una condizione si "indebolisce" allora si "allarga" cioè comprende un numero maggiore di casi, mentre se si "rafforza" si "stringe" ovvero esclude casi che prima erano permessi. Ora, se questa terminologia fosse vera allora un indebolimento comporterebbe il passaggio da $>$, forma stretta a $\geq$ forma larga, e sarebbe come sostieni tu, cioè che dovrebbe essere il contrario di ciò che hai fatto vedere all'inizio del post:

$1/x>0$ in $(0,+\infty)$ e $lim_(x->+\infty)1/x \geq 0$

Ma non sono più sicuro della valenza terminologica di cui sopra

[anto_zoolander]

Si infatti io la penso anche in questa maniera.
Magari sarà stato un errore o un ricordo 'strano', quindi aspetto che venga chiarito.
Anche se comunque già basta questo controesempio per smontare questa cosa...

[anto_zoolander]

Secondo me una possibile dimostrazione di questo asserto è:

Supponiamo di avere una certa $f:A=(a,+infty)->RR,a inRR$ con $f$ continua su tutto $(a,+infty)$, allora:

se $f(x)>0forallx inA$ ed esiste $lim_(x->+infty)f(x)=linRR^~ =>lim_(x->+infty)f(x)geq0$

Se per assurdo fosse $l=c inRR^~<0$ allora per il teorema di permanenza del segno esisterebbe un intorno $U_c$ tale che $f(x)<0forallx inU_c$ Il che contraddice le ipotesi.



NB: per $RR^~$ intendo $RRcup{-infty,+infty}$
Poi allo stesso modo si generalizza per un generico valore, anziché $0$.

edit: ho aggiunto l'ipotesi di esistenza del limite

[Fioravante Patrone1]

Le disuguaglianze al limite si indeboliscono. Ribadisco e sottoscrivo. Roba che fa parte dell'istinto dell'analista.

Semplicemente, la disuguaglianza debole è "$\ge$", mentre "$>$" è la disuguaglianza stretta (o "forte", anche se di solito si usa questo aggettivo quando c'è qualcosina di più di un semplice "$>$")

[anto_zoolander]

"Fioravante Patrone":Le disuguaglianze al limite si indeboliscono. Ribadisco e sottoscrivo. Roba che fa parte dell'istinto dell'analista.

Si forse era proprio lei a dirmelo e avevo frainteso il concetto di 'indebolimento' di una disuguaglianza.
È corretta la dimostrazione da me riportata?

[Ernesto011]

Penso che sia una conseguenza diretta della definizione di limite, se il limite $l$ è negativo allora deve esistere un $M>0$ per cui $f(x)$ è negativa in $[M,oo)$, assurdo per ipotesi.
Inoltre credo che quando enunci quello che vuoi dimostrare fai un piccolo errore concettuale. Il limite, se esiste, ha quella proprietà. Hai messo quella freccia di implicazione e letto così sembra che ogni funzione non negativa e continua a $oo$ ammetta limite, ma per esempio $g(x)=cosx+3$ non ammette limite.

[anto_zoolander]

Giusto dovevo mettere l'ipotesi di esistenza del limite.
Mi piaceva vederlo con il teorema di permanenza

NB aggiungo l'ipotesi e sistemo appena arrivo a casa. Fatto.

[Fioravante Patrone1]

Visto che raptorista mi ha ricordato la fama di "cattivissimo" (ho ancora la maglietta!), cerco di onorarla.

"anto_zoolander":Giusto dovevo mettere l'ipotesi di esistenza del limite.
Mi piaceva vederlo con il teorema di permanenza

E con cosa lo volevi vedere, sennò?

"anto_zoolander":NB aggiungo l'ipotesi e sistemo appena arrivo a casa. Fatto.

Fatto un corno.

"anto_zoolander":Supponiamo di avere una certa $f:A=(a,+infty)->RR,a inRR$ con $f$ continua su tutto $(a,+infty)$, allora:

se $f(x)>0forallx inA$ ed esiste $lim_(x->+infty)f(x)=linRR^~ =>lim_(x->+infty)f(x)geq0$

1. la continuità non serve a niente. Infatti, guarda caso, nella dimostrazione non la usi. E se una ipotesi non viene usata nella dimostrazione, è buona norma igienica porsi delle domande

2. "$=>$" già significa "se... allora...", quindi mettere "se" davanti a una frase che si basa su $=>$, fa davvero brutto. Per lo meno, a me fa venire l'orticaria

3. "esiste $lim_(x->+infty)f(x)=linRR^~$" è anche questo un brutto modo di esprimersi. So che si usa, ma ti inviterei a scrivere in modo più corretto, dal punto di vista formale. Più che altro per essere sicuro di aver capito che c'è una certa differenza...
Lascio perdere il fatto che $l in RR^~$, che fa parte della stenografia standard. Ma ti faccio notare che $lim_(x->+infty)f(x)=l$ è una PROPOSIZIONE che può essere vera o falsa (dipende da $f$ e da $l$), NON è un numero reale. Quindi come fai a richiedere che ESISTA?
Diciamolo in modo almeno decente: "esiste $l in RR^~$, con $lim_(x->+infty)f(x)=l$"

[Indrjo Dedej]

"Fioravante Patrone":...ti faccio notare che $lim_(x->+infty)f(x)=l$ è una PROPOSIZIONE che può essere vera o falsa (dipende da $f$ e da $l$), NON è un numero reale. Quindi come fai a richiedere che ESISTA?

" $lim_{x to +oo} f(x)=\lambda$ ", con $lambda in RR$, significa (questione di abbreviazione, se vuoi)

$forall epsilon in RR^+ \ exists m in RR^+ \ forall x in RR , x>m =>|f(x)-lambda|

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[Fioravante Patrone1]

"Indrjo Dedej":[quote="Fioravante Patrone"]...ti faccio notare che $lim_(x->+infty)f(x)=l$ è una PROPOSIZIONE che può essere vera o falsa (dipende da $f$ e da $l$), NON è un numero reale. Quindi come fai a richiedere che ESISTA?

" $lim_{x to +oo} f(x)=\lambda$ ", con $lambda in RR$, significa (questione di abbreviazione, se vuoi)

$forall epsilon in RR^+ \ exists m in RR^+ \ forall x in RR , x>m =>|f(x)-lambda|

ID[/quote]

Nonostante la mia meritata fama di cattivissimo, cercherò di essere gentile. Mi spieghi per cortesia la ratio di questo tuo commento?

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[anto_zoolander]

"Fioravante Patrone":....

D'altronde sono qui per imparare e va bene qualsiasi espressione, anche 'cattiva'.

Il formalismo lo vado apprendendo piano piano, per la continuità: ho capito

Per il punto terzo: intendo che la funzione ammetta un limite(finito o infinito). perchè nel caso in cui essa non lo ammetta, com'è stato fatto notare, la proposizione potrebbe fallire

[Fioravante Patrone1]

Abbiate pazienza, ma la matematica non è una "roba a caso".

Richiede lettura attenta. Cosa che tu non hai minimamente fatto per quanto riguarda il punto 3. (E te l'ho già detto, tempi fa, che serve precisione. Non maniacale, ma una precisione che guardi con attenzione alle cose essenziali). Cosa che si è guardato bene dal fare Indrjo Dedej, che mi ha voluto gentilmente fornire la definizione di limite. Immagino che essendo un giovane utente del forum non mi conosca. Ne ha tutti i diritti, ma approfitto dell'occasione per comunicargli che trent'anni fa prendevo servizio come professore ordinario di... analisi matematica.
Ma non è questo il punto. La cosa grave è che nessuno di voi due ha ritenuto valesse la pena leggere e comprendere quello che era stato scritto. Sapere che $lim_(x->+infty)f(x)=l$ è una proposizione, per cui è completamente privo di senso dire che "esiste" (oppure no), significa farsi fregare dalle usuali stenografie. Accidenti, lo volete capire che non ha senso? Voi direste: "esiste l'Italia è in Europa"? Spero di no, ma non ne sono mica tanto sicuro.
DOPO che uno ha capito questo fatto cruciale, uno può anche permettersi di usare la stenografia. Quando si chiacchiera tra colleghi ci si esprime in modi tali che un qualunque prof, per quanto buono, ci caccerebbe all'istante da un esame. Ma PRIMA bisogna aver capito bene di cosa si sta parlando, poi ci si possono prendere tutte le licenze poetiche che si desidera.

[Indrjo Dedej]

Lo so che $lim_{x to +infty} f(x)=lambda$ è una proposizione e no ha senso dire esiste $lim_{x to +infty} f(x)=lambda$. Può darsi che non mi sia fatto capire.

Non metto minimamente in dubbio le tue conoscenze. Chi sono io per farlo? Non oserei nemmeno farlo.
Anche se scrivo pochissimo, leggo i vostri interventi e li analizzo. So più o meno a chi rompere le scatole nel corso di una discussione. Capisco la logica che potrebbe stare dietro un matematico, perché no?

Per me non sei cattivissimo. Anzi ti ringrazio anche per il tuo commento.

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