Disuguaglianza triangolare e di bernoulli

[Mocenigo]

Gentili operatori ed utenti
è da poco che ho iniziato lo studio dell'analisi e non riesco a capire come mai nelle dimostrazioni dei teoremi, per esempio sulle successioni, vengono utilizzate queste due disuguaglianze. Ci aiutano a dimostrare qualcosa? Se si che cosa? Vi faccio un esempio...

Limite notevole a^n il libro mi riporta ....infatti se a>1 per la diseguaglianza di Bernoulli si ha:
a^n=(1+a-1)^n>=1+n(a-a) che tende a più infinito... Quello che non capisco è perchè i libri piazzano le cose lì, come se per noi studenti fossero scontate. Perchè ha usato proprio la disuguaglianza di Bernoulli? Cosa ha di così speciale che la rende utile a dimostrare qualcosa? Stesse domande valgono per la disuguaglianza triangolare!!! Non riesco proprio a capirlo... Vi sarei molto grato!! Saluti... Antonio

[oronte83]

Adesso non mi ricordo la dimostrazione che citi, ma queste disuguaglianze notevoli vegono usate perche nel corso della dimostrazione trovi dei passaggi che si sviluppano più facilmente grazie a queste. La loro importanza è dovuta anche a queste applicazioni che ti permettono di sbrigare piu rapidamente i conti nella dimostrazione. Chiaramente potrebbero esistere altri modi per dimostrare uno stesso teorema, anche senza sfruttarle.
Ad esempio nella dimostrazione dei teoremi che coinvolgono le norme ti tornerà utile al 90% la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
La disugualgianza triangolare ad esempio è fondamentale per stabilire se una certa applicazione è una metrica. Dimostri con la disuguaglianza triangolare che in uno spazio normato vale la disuguaglianza di C-S.
Allora ti potresti anche domandare a cosa servono i limiti notevoli, o il teorema di de l'Hospital o il teorema di Pitagora. Sono essenzialmente strumenti che ti servono per fare i conti, risolvere i problemi, sciogliere agevolmente certi passaggi.
Spero di averti un po' convinto.
Buon lavoro