Disuguaglianza parte intera

[fafnir39]

Salve a tutti.
Ho trovato la seguente disuguaglianza: \( p[x] \leq px < p[x]+p \forall p \in \mathbb{N} \) e ho tentato una dimostrazione per induzione su p, riuscendo a mostrare che \( p[x] \leq px \forall p \in \mathbb{N} \) ma non riuscendo a mostrare che \( px \leq p[x]+1 \forall p \in \mathbb{N} \) .
Qualcuno può darmi un indizio su come procedere?

Grazie.

Edit: Il libro di testo da cui avevo tratto la precedente dsuguaglianza contiene un errore: la disuguaglianza giusta è \( p[x] \leq px < p[x]+p \forall p \in \mathbb{N} \) e sono riuscito a dimostrarla.
Il libro cita una disuguaglianza dopo, che è la seguente: \( p[x] \leq [px] < p[x]+p \forall p \in \mathbb{N} \) e con
questa ho problemi al passo induttivo.
Qualcuno può darmi un indizio su come procedere?

[morbibi]

Scusami, ma non mi sembra vera la seconda disuguaglianza. Ponendo (per puro esempio) $p=7,x=5.9$ si ha 41.3<36. Non è che era $px < p[x]+p$?