Disuguaglianza integrali

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
nella dimostrazione che dà il mio libro del teorema di esistenza ed unicità globale della soluzione al problema di Cauchy, dimostrazione basata sul teorema delle contrazioni, ho difficoltà a capire la disugualianza
\[ \text{max}_{t \in I_0} \int_{t_0}^{t} ||T(\vec \psi_1)(s) -T(\vec \psi_2)(s)||\text{d}s \leq L \text{max}_{t \in I_0} \int_{t_0}^{t} ||\vec \psi_1(s) -\vec \psi_2(s)||(s-t_0)\text{d}s\]
Dato che so che \(\text{max}_{t \in I_0} ||T(\vec \psi_1)(t) -T(\vec \psi_2)(t)|| \leq L \text{max}_{t \in I_0} ||\vec \psi_1 -\vec \psi_2 || \text{max}_{t \in I_0}|t-t_0|\), saprei come spiegarmi questo passaggio del libro se valesse
$\text{max}_{t \in I_0} f(t) \leq \text{max}_{t \in I_0} g(t) \Rightarrow \text{max}_{t \in I_0} \int_{t_0}^{t} f(s)\text{d}s \leq \text{max}_{t \in I_0} \int_{t_0}^{t}g(s)\text{d}s$... ma non mi pare che in generale valga questa implicazione.
Il contesto è quello in cui si dimostra che, nel dominio della funzione $\vec f$, che è uno spazio completo secondo le premesse del teorema di esistenza ed unicità, \(T(\vec\psi)(t)=\vec y_0+\int_{t_0}^{t} \vec f (s,\vec\psi(s))\text{d}s\) è una contrazione in $\vec\psi$, per cui ammette un unico punto fisso, che è la funzione soluzione del problema di Cauchy.
Ringrazio $oo$-mente chi mi aiuterà a capirci qualcosa...

[gugo82]

No, non vale.

Ad esempio, \(I_0=[0,\pi]\), \(f(t)=5/6\) e \(g(t)=\sin t\) danno \(\displaystyle \max_{[0,\pi]} f=5/6 <1=\max_{[0,1]} g\), ma:
\[
F(t):=\int_0^t f = 5/6 t \qquad \text{e} \qquad G(t):=\int_0^t g = 1-\cos t
\]
sicché \(\displaystyle \max_{[0,\pi]} F=5/6\ \pi > 1=\max_{[0,\pi]} G\).

[DavideGenova1]

Grazie di cuore, Gugo! Stavo modificando il messaggio per scrivere che appunto non mi pare che valga quando mi hai risposto.
Come si giustifica la disuguaglianza del mio libro?
Grazie di cuore ancora a te e a chiunque contribuirà!

[gugo82]

Ma guarda che non i \(T\psi\) che vuoi andare a stimare non stanno sotto il segno d'integrale.

Insomma, vuoi stimare la quantità \(\|T\psi_1 -T\psi_2\|_\infty\) (una nota en passant: allegerisci le notazioni, altrimenti diventa difficile leggere i tuoi post), che è uguale a:
\[
\max_I |T\psi_1 -T\psi_2| = \max_I \left| \int_{t_0}^t |f(s,\psi_1(s))-f(s,\psi_2)|\right|\; ;
\]
sai che \(f\) è uniformemente lipschitziana, quindi il valore assoluto sotto integrale lo controlli con \(L\ |\psi_1(s)-\psi_2(s)|\) e scrivi:
\[
\| T\psi_1 -T\psi_2\|_\infty \leq L\ \max_I \left| \int_{t_0}^t |\psi_1 -\psi_2| \right|\leq L\ \|\psi_1 -\psi_2\|_\infty\ \max_I \left| \int_{t_0}^t 1 \right| = L\ \| \psi_1-\psi_2\|_\infty\ m(I)
\]
ove \(m(I)\) è la misura di \(I\).

[DavideGenova1]

$+oo$ grazie!!! Ho scritto i $T\mathbf{\psi}$ sotto l'integrale, come da testo, perché in questa dimostrazione $T^p\mathbf{\psi}=T(T^{p-1}\mathbf{\psi})$ si reitera fino a trovare un coefficiente strettamente minore di 1 per \(d_{\infty} ( \mathbf{\psi}_1, \mathbf{\psi}_2)\) e dimostrare che la $p$-esima reiterata con distanza \(d_{\infty} ( T^p\mathbf{\psi}_1, T^p\mathbf{\psi}_2)\) è una contrazione.
Ho capito: data la lipschitzianità di $T$ si ha che \(||T\mathbf{\psi}_1 -T\mathbf{\psi}_2||\leq L||\mathbf{\psi}_1 -\mathbf{\psi}_2||\) e quindi direi che
$\int_{t_0}^{t} ||T\mathbf{\psi}_1(s) -T\mathbf{\psi}_2(s)||\text{d}s \leq L\int_{t_0}^{t}||\mathbf{\psi}_1(s) -\mathbf{\psi}_2(s)||\text{d}s \leq L \max_I ||\mathbf{\psi}_1(t) -\mathbf{\psi}_2(t)|| |t-t_0|$.
perché -penso anche proprio al significato geometrico dell'integrale- $m(I) \max_I f(t) \geq \int_{t_0}^{t} f(s) \text{d}s$...
Grazie ancora!!!