Disuguaglianza e sommatoria
Sul libro di calcolo numerico in una dimostrazione si fa uso (almeno a me sembra) di questa diseguaglianza che riporto in forma generale:
$ a_j,b_j $ sono dei vettori di $ RR^n $ e $ 0<=j<=n $.
Sia $ a_max=max_(0<=j<=n)|a_j| $ e $ b_max=max_(0<=j<=n)|b_j| $ allora $ |sum_(j = 0)^n a_jb_j|<=(a_max*b_max) $.
E' vera questa diseguaglianza? Per conto mio ho provato a interpretarla come: la somma in valore assoluto delle aree di n rettangoli di lato ciascuno $ a_j $ e $ b_j $ è minore dell'area del rettangolo che ha base e altezza maggiori, ma da qui non riesco a ricavare molto.
(tengo a precisare che non sono sicuro di aver capito la dimostrazione, quindi nel caso la disuguaglianza non fosse valida molto probabilmente vorrebbe dire che ho interpretato male il testo)
Grazie
$ a_j,b_j $ sono dei vettori di $ RR^n $ e $ 0<=j<=n $.
Sia $ a_max=max_(0<=j<=n)|a_j| $ e $ b_max=max_(0<=j<=n)|b_j| $ allora $ |sum_(j = 0)^n a_jb_j|<=(a_max*b_max) $.
E' vera questa diseguaglianza? Per conto mio ho provato a interpretarla come: la somma in valore assoluto delle aree di n rettangoli di lato ciascuno $ a_j $ e $ b_j $ è minore dell'area del rettangolo che ha base e altezza maggiori, ma da qui non riesco a ricavare molto.
(tengo a precisare che non sono sicuro di aver capito la dimostrazione, quindi nel caso la disuguaglianza non fosse valida molto probabilmente vorrebbe dire che ho interpretato male il testo)
Grazie
Risposte
Non mi sembra che sia vera. Prendi $a_j=b_j=1$ per ogni $0<=j<=n$.
hai $a_{max}=1$ e $b_{max}=1$. $|sum_{j=0}^n a_j *b_j|= |sum_{j=0}^n 1|=|n+1|=n+1$, mentre $a_{max}*b_{max}=1$.
hai $a_{max}=1$ e $b_{max}=1$. $|sum_{j=0}^n a_j *b_j|= |sum_{j=0}^n 1|=|n+1|=n+1$, mentre $a_{max}*b_{max}=1$.
Quella disuguaglianza non può essere vera per un semplice motivo: se \(n\geq 2\) e \(a_0=\cdots =a_n=1=b_0=\cdots =b_n\) allora essa fornisce l'assurdo \(n+1\leq 1\).
Una disuguaglianza corretta è:
\[
\left| \sum_{j=0}^n a_j\ b_j\right|\leq (n+1)\ |a_\max|\ |b_\max|
\]
oppure:
\[
\left| \sum_{j=0}^n a_j\ b_j\right|\leq |a_\max |\ \sum_{j=0}^n |b_j|\; .
\]
Una disuguaglianza corretta è:
\[
\left| \sum_{j=0}^n a_j\ b_j\right|\leq (n+1)\ |a_\max|\ |b_\max|
\]
oppure:
\[
\left| \sum_{j=0}^n a_j\ b_j\right|\leq |a_\max |\ \sum_{j=0}^n |b_j|\; .
\]
Ringrazio entrambi. Per gugo82: la seconda disequazione che hai scritto andrebbe bene se fosse del tipo $ |sum_(j = 0) ^n a_jc_jb_j|<= |a_max*c_max|sum_(j = 0)^n |bj| $ ? Nel caso la risposta fosse si, quale potrebbe essere una possibile interpretazione geometrica? Grazie.
Quella che citi è una variante della disuaglianza di Hölder, la quale variante afferma che se \(1\leq p,q,r\leq \infty\) sono numeri tali che:
\[
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} =1
\]
(qui faccio implicitamente la convenzione \(\frac{1}{\infty}=0\)) allora si ha:
\[
\left| \sum_{j=1}^n a_j\ b_j\ c_j\right| \leq \|\mathbf{a}\|_p\ \| \mathbf{b}\|_q\ \| \mathbf{c}\|_r\; ,
\]
in cui per \(\mathbf{x} =(x_0,\ldots , x_n)\) ed \(1\leq s\leq \infty\) si è posto:
\[
\|\mathbf{x}\|_s := \begin{cases} \left( |x_0|^s + \cdots +|x_n|^s\right)^{1/s} &\text{, se } 1\leq s<\infty\\
\max \{ |x_0|,\ldots , |x_n|\} &\text{, se } s=\infty\; .
\end{cases}
\]
In particolare, nel tuo caso hai scelto \(p=r=\infty\) e \(q=1\).
\[
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} =1
\]
(qui faccio implicitamente la convenzione \(\frac{1}{\infty}=0\)) allora si ha:
\[
\left| \sum_{j=1}^n a_j\ b_j\ c_j\right| \leq \|\mathbf{a}\|_p\ \| \mathbf{b}\|_q\ \| \mathbf{c}\|_r\; ,
\]
in cui per \(\mathbf{x} =(x_0,\ldots , x_n)\) ed \(1\leq s\leq \infty\) si è posto:
\[
\|\mathbf{x}\|_s := \begin{cases} \left( |x_0|^s + \cdots +|x_n|^s\right)^{1/s} &\text{, se } 1\leq s<\infty\\
\max \{ |x_0|,\ldots , |x_n|\} &\text{, se } s=\infty\; .
\end{cases}
\]
In particolare, nel tuo caso hai scelto \(p=r=\infty\) e \(q=1\).
Grazie mille.
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