Disuguaglianza di successioni

[keccogrin-votailprof]

Dimostrare che vale definitivamente [tex]\sqrt [n] {n} < \sqrt [n+1] {n+1}[/tex]. Suggerimento: [tex](1+1/n)^n < 2 \forall n[/tex] naturale.
Il primo termine per cui vale la disuguaglianza dovrebbe essere 3.

[misanino]

"EdmondDantès":Dimostrare che vale definitivamente [tex]\sqrt [n] {n} < \sqrt [n+1] {n+1}[/tex]. Suggerimento: [tex](1+1/n)^n < 2 \forall n[/tex] naturale.
Il primo termine per cui vale la disuguaglianza dovrebbe essere 3.

Ma sei sicuro di quello che hai scritto!?
Io penso che definitivamente [tex]\sqrt [n] {n} > \sqrt [n+1] {n+1}[/tex]

[keccogrin-votailprof]

Hai ragione, misanino, c'è il > sia nella prima che nella seconda disuguaglianza, e cmq ho capito come ci si arriva...basta elevare ambo i membri alla n(n+1), dividere in fattori n^(n+1) e si ottiene proprio quello che indicavava nel suggerimento.

[misanino]

"EdmondDantès":Hai ragione, misanino, c'è il > sia nella prima che nella seconda disuguaglianza, e cmq ho capito come ci si arriva...basta elevare ambo i membri alla n(n+1), dividere in fattori n^(n+1) e si ottiene proprio quello che indicavava nel suggerimento.

Esatto.
Ora le cose tornano.
Ciao