Disuguaglianza di Holder
Ciao, mi sono bloccato tentando di risolvere un esercizio e poi mi è sorto un dubbio.
Siano \( f, g \in \mathcal{C}^{0}([0,1]) \) e definiamo:
\[ \phi(f,g) = \int_{0}^{1} fg \]
Dimostra che \( \begin{vmatrix}
\phi(f,g)
\end{vmatrix}\leq \phi(f,f)^{1/2} \phi(g,g)^{1/2} \)
indicazione: Essenzialmente seguite la dimostrazione di Cauchy-Schwarz in \( \mathbb{R}^n \)
Inizialmente, visto che abbiamo iniziato analisi in \( \mathbb{R}^n \) ho pensato che si trattassero di funzioni da \( \mathbb{R}^n \) in \( \mathbb{R}^n \), e non avevo idea di come fare (non abbiamo ancora fatto continuità, ne derivazioni ne integrazioni in \( \mathbb{R}^n \) ), ma spesso ci danno esercizi che precedono le lezioni di corso. Inoltre l'indicazione mi ha fatto pensare ad \( \mathbb{R}^n \). Ma poi mi è sorto un dubbio, cosa vuol dire integrare su un intervallo in \( \mathbb{R}^n \)? In \( \mathbb{R}^2 \) ad esempio dovrei integrare su una palla (o comunque una superficie, credo ad intuito) e non su un intervallo, e pertanto mi è sorto il dubbio che si trattassero di funzioni da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R}\), dico bene?
Siano \( f, g \in \mathcal{C}^{0}([0,1]) \) e definiamo:
\[ \phi(f,g) = \int_{0}^{1} fg \]
Dimostra che \( \begin{vmatrix}
\phi(f,g)
\end{vmatrix}\leq \phi(f,f)^{1/2} \phi(g,g)^{1/2} \)
indicazione: Essenzialmente seguite la dimostrazione di Cauchy-Schwarz in \( \mathbb{R}^n \)
Inizialmente, visto che abbiamo iniziato analisi in \( \mathbb{R}^n \) ho pensato che si trattassero di funzioni da \( \mathbb{R}^n \) in \( \mathbb{R}^n \), e non avevo idea di come fare (non abbiamo ancora fatto continuità, ne derivazioni ne integrazioni in \( \mathbb{R}^n \) ), ma spesso ci danno esercizi che precedono le lezioni di corso. Inoltre l'indicazione mi ha fatto pensare ad \( \mathbb{R}^n \). Ma poi mi è sorto un dubbio, cosa vuol dire integrare su un intervallo in \( \mathbb{R}^n \)? In \( \mathbb{R}^2 \) ad esempio dovrei integrare su una palla (o comunque una superficie, credo ad intuito) e non su un intervallo, e pertanto mi è sorto il dubbio che si trattassero di funzioni da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R}\), dico bene?
Risposte
Le funzioni che devi trattare stanno in \( \mathcal{C}^{0}([0,1]) \), quindi hanno come dominio $[0,1]$ e come codominio $RR$, quindi per ora non farti più di tanti problemi.
Il suggerimento va inteso come se gli elementi di $RR^n$ fossero funzioni da un insieme con $n$ elementi a $RR$ e la $\phi$ è il normale prodotto scalare, ora cambia il dominio e il prodotto scalare.
Il suggerimento va inteso come se gli elementi di $RR^n$ fossero funzioni da un insieme con $n$ elementi a $RR$ e la $\phi$ è il normale prodotto scalare, ora cambia il dominio e il prodotto scalare.
Può dunque andar bene questa dimostrazione?
Chiaramente se \( f \) è identicamente nulla allora è vero, dunque supponiamo \( f \neq 0 \) su \( [0,1]\), stesso argomento per \(g \) e
poniamo \(\Phi_{\lambda}(x):=(\lambda f + g)^2(x) \geq 0 \), \(\forall x \in [0,1] \) e \( \forall \lambda \in \mathbb{R} \).
Abbiamo dunque che
\[ \int_{0}^{1} \Phi_{\lambda}(x)dx = \lambda^2 \int_{0}^{1}f^2(x)dx + 2\lambda \int_{0}^{1}f(x)g(x)dx + \int_{0}^{1}g^2(x)dx \geq 0 \]
Dunque il discriminante \[\Delta = \begin{pmatrix}
\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx
\end{pmatrix}^2 - \int_{0}^{1}f^2(x)dx \int_{0}^{1}g^2(x)dx \leq 0\]
\[\Rightarrow \begin{pmatrix}
\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx
\end{pmatrix}^2 \leq \int_{0}^{1}f^2(x)dx \int_{0}^{1}g^2(x)dx \]
\[\Rightarrow
\int_{0}^{1} \begin{vmatrix}f(x)\end{vmatrix} \begin{vmatrix}g(x)\end{vmatrix}dx
\leq \begin{pmatrix}\int_{0}^{1}f^2(x)dx\end{pmatrix}^{1/2}\begin{pmatrix} \int_{0}^{1}g^2(x)dx\end{pmatrix}^{1/2} \]
\[\Rightarrow
\begin{vmatrix} \phi(f,g) \end{vmatrix}\leq \phi(f,f)^{1/2} \phi(g,g)^{1/2}\]
Domandina di curiosità, come faccio a fare l'integrale in LaTeX che esce "allungato" anche dentro le parentesi? per intenderci se faccio \begin{pmatrix} \int_0^1 f(x) dx \end{pmatrix}, o anche con \begin{bmatrix}... etc. non mi esce come gli altri.
Chiaramente se \( f \) è identicamente nulla allora è vero, dunque supponiamo \( f \neq 0 \) su \( [0,1]\), stesso argomento per \(g \) e
poniamo \(\Phi_{\lambda}(x):=(\lambda f + g)^2(x) \geq 0 \), \(\forall x \in [0,1] \) e \( \forall \lambda \in \mathbb{R} \).
Abbiamo dunque che
\[ \int_{0}^{1} \Phi_{\lambda}(x)dx = \lambda^2 \int_{0}^{1}f^2(x)dx + 2\lambda \int_{0}^{1}f(x)g(x)dx + \int_{0}^{1}g^2(x)dx \geq 0 \]
Dunque il discriminante \[\Delta = \begin{pmatrix}
\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx
\end{pmatrix}^2 - \int_{0}^{1}f^2(x)dx \int_{0}^{1}g^2(x)dx \leq 0\]
\[\Rightarrow \begin{pmatrix}
\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx
\end{pmatrix}^2 \leq \int_{0}^{1}f^2(x)dx \int_{0}^{1}g^2(x)dx \]
\[\Rightarrow
\int_{0}^{1} \begin{vmatrix}f(x)\end{vmatrix} \begin{vmatrix}g(x)\end{vmatrix}dx
\leq \begin{pmatrix}\int_{0}^{1}f^2(x)dx\end{pmatrix}^{1/2}\begin{pmatrix} \int_{0}^{1}g^2(x)dx\end{pmatrix}^{1/2} \]
\[\Rightarrow
\begin{vmatrix} \phi(f,g) \end{vmatrix}\leq \phi(f,f)^{1/2} \phi(g,g)^{1/2}\]
Domandina di curiosità, come faccio a fare l'integrale in LaTeX che esce "allungato" anche dentro le parentesi? per intenderci se faccio \begin{pmatrix} \int_0^1 f(x) dx \end{pmatrix}, o anche con \begin{bmatrix}... etc. non mi esce come gli altri.
Ciao!
Si la tua dimostrazione è corretta, si usava/usa per dimostrare la disuguaglianza di CS tra le serie. Ad ogni modo questa è un fatto che dipende soltanto dalle proprietà di $phi$, in questo caso infatti è un prodotto scalare e in generale la disuguaglianza di CS non dipende dalla dimensione di uno spazio vettoriale o da una particolare base(in poche parole vale per qualsiasi spazio euclideo)
Un’altra dimostrazione può essere la seguente, l’aggiungo per evidenziare una proprietà importante
Tra l’altro usi lo spazio delle funzioni continue in $[0,1]$ e non quello delle funzioni ivi integrabili, ti viene in mente qualche motivo per cui ti sia stato dato proprio $C^0$?
Per la domanda sull’integrale: non ne ho idea personalmente
Si la tua dimostrazione è corretta, si usava/usa per dimostrare la disuguaglianza di CS tra le serie. Ad ogni modo questa è un fatto che dipende soltanto dalle proprietà di $phi$, in questo caso infatti è un prodotto scalare e in generale la disuguaglianza di CS non dipende dalla dimensione di uno spazio vettoriale o da una particolare base(in poche parole vale per qualsiasi spazio euclideo)
Un’altra dimostrazione può essere la seguente, l’aggiungo per evidenziare una proprietà importante
Tra l’altro usi lo spazio delle funzioni continue in $[0,1]$ e non quello delle funzioni ivi integrabili, ti viene in mente qualche motivo per cui ti sia stato dato proprio $C^0$?
Per la domanda sull’integrale: non ne ho idea personalmente
"3m0o":
Domandina di curiosità, come faccio a fare l'integrale in LaTeX che esce "allungato" anche dentro le parentesi? per intenderci se faccio \[ \begin{pmatrix} \int_0^1 f(x) dx \end{pmatrix} \], o anche con \begin{bmatrix}... etc. non mi esce come gli altri.
Intendi così?
$($ $int_(a)^(b) f(x)dx$ $)$
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