Disuguaglianza di Cauchy
Ciao!
Mi è venuto un dubbio leggendo un libro di testo:
La disuguaglianza di Cauchy afferma che, dati $ u,v in R^n $ (spazio euclideo):
\[
|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|
\]
E ovviamente, con le definizioni date di norma euclidea e prodotto scalare, si ottiene:
\[
\left| \sum_{i=1}^n a_i b_i \right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}
\]
Però il libro aggiunge anche che questa formulazione è equivalente a:
\[
\sum_{i=1}^n |a_i b_i| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}
\]
...c'è qualcosa che non capisco... Qualcuno può chiarirmi l'equivalenza tra le prime due disequazioni e l'ultima??
Mi è venuto un dubbio leggendo un libro di testo:
La disuguaglianza di Cauchy afferma che, dati $ u,v in R^n $ (spazio euclideo):
\[
|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|
\]
E ovviamente, con le definizioni date di norma euclidea e prodotto scalare, si ottiene:
\[
\left| \sum_{i=1}^n a_i b_i \right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}
\]
Però il libro aggiunge anche che questa formulazione è equivalente a:
\[
\sum_{i=1}^n |a_i b_i| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}
\]
...c'è qualcosa che non capisco... Qualcuno può chiarirmi l'equivalenza tra le prime due disequazioni e l'ultima??
Risposte
La spiegazione concisa e' che: se il teorema e' vero per due generici vettori $a = {a_i}$ e $b = {b_i}$ allora deve essere vera anche per i vettori $a' = {|a_i|}$ e $b' = {|b_i|}$, ovvero per gli stessi vettori $a$ e $b$ le cui componenti sono state prese in modulo.
E se tutte le componenti dei vettori sono positive allora il modulo della sommatoria
\[ \left| \sum_{i=1}^n a_i b_i \right| \]
puo' essere portato dentro all'operazione di sommatoria stessa, ovvero la sommatoria diventa
\[ \sum_{i=1}^n \left| a_i b_i \right| \]
La dimostrazione di questa affermazione sta nel fatto che a destra della disuguaglianza
\[ \left| \sum_{i=1}^n a_i b_i \right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2} \]
le singole componenti compaiono come quadrati, e l'operazione di elevazione al quadrato "cancella" il segno del numero di partenza, quindi se il teorema vale per vettori che hanno alcune componenti negative, allora deve valere anche per gli stessi vettori con tutte le componenti positive.
E se tutte le componenti dei vettori sono positive allora il modulo della sommatoria
\[ \left| \sum_{i=1}^n a_i b_i \right| \]
puo' essere portato dentro all'operazione di sommatoria stessa, ovvero la sommatoria diventa
\[ \sum_{i=1}^n \left| a_i b_i \right| \]
La dimostrazione di questa affermazione sta nel fatto che a destra della disuguaglianza
\[ \left| \sum_{i=1}^n a_i b_i \right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2} \]
le singole componenti compaiono come quadrati, e l'operazione di elevazione al quadrato "cancella" il segno del numero di partenza, quindi se il teorema vale per vettori che hanno alcune componenti negative, allora deve valere anche per gli stessi vettori con tutte le componenti positive.
Geniale! Grazie tante!
Mi sembra stranissimo che su internet non ho trovato nulla che spiega ciò, è anche il mio libro lo dà per scontato... Senza dubbio l'implicazione verso il basso non mi sembra così ovvia
Mi sembra stranissimo che su internet non ho trovato nulla che spiega ciò, è anche il mio libro lo dà per scontato... Senza dubbio l'implicazione verso il basso non mi sembra così ovvia
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