Disuguaglianza di Bernoulli
Ciao! 
Sia $x in RR$ e $x >= -1$, per ogni $n in NN$ si ha $(1+x)^n >= 1+nx$. Questo è ciò che afferma la disuguaglianza di Bernoulli.
Il teorema e la sua dimostrazione (per induzione) mi sono chiari, quello che non capisco è il caso limite quando $x = -1$ e $n = 0$, dove al primo membro della disequazione compare il termine $0^0$ che non so come trattare.
Poi, qualcuno sa per caso se quest'altra disuguaglianza ha un nome?
Si consideri $n$ numeri reali ($a_1, a_2, ..., a_n$) positivi, cioè $a_i > 0$ per ogni $i = 1, ..., n$ (di quest'ultimo vincolo non sono certo). Se $a_1 * a_2 * ... * a_n = 1$, allora $a_1 + a_2 + ... + a_n >= n$.
Grazie mille!
Sia $x in RR$ e $x >= -1$, per ogni $n in NN$ si ha $(1+x)^n >= 1+nx$. Questo è ciò che afferma la disuguaglianza di Bernoulli.
Il teorema e la sua dimostrazione (per induzione) mi sono chiari, quello che non capisco è il caso limite quando $x = -1$ e $n = 0$, dove al primo membro della disequazione compare il termine $0^0$ che non so come trattare.
Poi, qualcuno sa per caso se quest'altra disuguaglianza ha un nome?
Si consideri $n$ numeri reali ($a_1, a_2, ..., a_n$) positivi, cioè $a_i > 0$ per ogni $i = 1, ..., n$ (di quest'ultimo vincolo non sono certo). Se $a_1 * a_2 * ... * a_n = 1$, allora $a_1 + a_2 + ... + a_n >= n$.
Grazie mille!
Risposte
"Jack87":
Ciao!
Sia $x in RR$ e $x >= -1$, per ogni $n in NN$ si ha $(1+x)^n >= 1+nx$. Questo è ciò che afferma la disuguaglianza di Bernoulli.
Il teorema e la sua dimostrazione (per induzione) mi sono chiari, quello che non capisco è il caso limite quando $x = -1$ e $n = 0$, dove al primo membro della disequazione compare il termine $0^0$ che non so come trattare.
La disuguaglianza semplicemente non ha senso per \(x=-1\) ed \(n=0\).
"Jack87":
Poi, qualcuno sa per caso se quest'altra disuguaglianza ha un nome?
Si consideri $n$ numeri reali ($a_1, a_2, ..., a_n$) positivi, cioè $a_i > 0$ per ogni $i = 1, ..., n$ (di quest'ultimo vincolo non sono certo). Se $a_1 * a_2 * ... * a_n = 1$, allora $a_1 + a_2 + ... + a_n >= n$.
Questa è una versione "bruttina" della classica:
\[
\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n} \leq \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\; ,
\]
valida per \(a_1,\ldots ,a_n \geq 0\), che si chiama disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica (che di solito si abbrevia AmGm).
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