Disuguaglianza di Bernoulli
Non ho chiaro un passaggio sulla dimostrazione della Disuguaglianza di Bernoulli.
Quando si dimostra che la disugluaglianza è vera anche per $n + 1$ si arriva ad un passaggio nel quale si ha la seguente disuguaglianza:
$(1 + x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x + nx^2 $
E poichè $nx^2$ e sicuramente una quantità positiva vale allora la disuguaglianza:
$(1 + x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x $
Ora mi chiedo: se per assurdo $nx^2$ fosse stata una quantità negativa, non valeva più quella disuguaglianza poichè il primo membro poteva essere solo maggiore e non maggiore o uguale del secondo membro?
Scusate per la perplessità.
Grazie anticipatamente.
Quando si dimostra che la disugluaglianza è vera anche per $n + 1$ si arriva ad un passaggio nel quale si ha la seguente disuguaglianza:
$(1 + x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x + nx^2 $
E poichè $nx^2$ e sicuramente una quantità positiva vale allora la disuguaglianza:
$(1 + x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x $
Ora mi chiedo: se per assurdo $nx^2$ fosse stata una quantità negativa, non valeva più quella disuguaglianza poichè il primo membro poteva essere solo maggiore e non maggiore o uguale del secondo membro?
Scusate per la perplessità.
Grazie anticipatamente.
Risposte
n è un numero naturale, quindi non può essere negativo 
Si lo so perfettamente, io volevo capire perchè viene formulata la frase "e poichè $nx^2$ è sicuramente una quantità positiva"
Viene formulata perché, a voler fare tutti i passaggi, si ha
$(1 + x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x + nx^2 >= 1 + (n+1)x $
La prima diseguagliaza vale per ipotesi, e la seconda proprio perché una quantità più una cosa positiva è maggiore o uguale della quantità da sola. Quindi il primo membro è maggiore o uguale dell'ultimo
$(1 + x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x $
Quando chiedi "se per assurdo $nx^2$ fosse stato negativo", la risposta era che non potevi dedurre la disuguaglianza.
Spero sia chiaro.
$(1 + x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x + nx^2 >= 1 + (n+1)x $
La prima diseguagliaza vale per ipotesi, e la seconda proprio perché una quantità più una cosa positiva è maggiore o uguale della quantità da sola. Quindi il primo membro è maggiore o uguale dell'ultimo
$(1 + x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x $
Quando chiedi "se per assurdo $nx^2$ fosse stato negativo", la risposta era che non potevi dedurre la disuguaglianza.
Spero sia chiaro.
Chiarissimo. Grazie di cuore, anche in internet fino ad ora non ero stato in grado di trovare alcuna risposta 
Figurati, ciao!
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