Disuguaglianza di bernoulli
ciao a tutti.
non mi riesce dimostrare per induzione che $(1+x)^n>=1+nx$
Negli appunti il professore dimostra che è vera per n=1 che è banale.
poi fa l'ipotesi che sia vera per (n-1)
$(1+x)(1+x)^(n-1)>=[1+(n-1)x](1+x)$
non riesco a capire da dove salta fuori il termine $(1+x)$ che compare alla destra della disuguaglianza forse ho copiato male.
non mi riesce dimostrare per induzione che $(1+x)^n>=1+nx$
Negli appunti il professore dimostra che è vera per n=1 che è banale.
poi fa l'ipotesi che sia vera per (n-1)
$(1+x)(1+x)^(n-1)>=[1+(n-1)x](1+x)$
non riesco a capire da dove salta fuori il termine $(1+x)$ che compare alla destra della disuguaglianza forse ho copiato male.
Risposte
Ha preso la disuguaglianza [tex](1+x)^{n-1}\geq 1 +(n-1)x[/tex] (che si suppone vera) e ha moltiplicato tutto per [tex](1+x)[/tex].
andando avanti con i conti arriviamo a scrivere
$(1+x)^n>=1+nx+x^2(n-1)$
e ora non saprei andare avanti
$(1+x)^n>=1+nx+x^2(n-1)$
e ora non saprei andare avanti
Da qui ci sei:
[tex](1+x^n) \geqslant 1+nx+x^2(n-1) \geqslant 1+nx[/tex]
Visto che [tex]x^2(n-1) \geqslant 0[/tex]!!!
[tex](1+x^n) \geqslant 1+nx+x^2(n-1) \geqslant 1+nx[/tex]
Visto che [tex]x^2(n-1) \geqslant 0[/tex]!!!
Il secondo passo della dimostrazione per induzione è spesso mal compreso ( non so se è il tuo caso ). Il secondo passo dice di dimostrare la veridicità dell'enunciato $P_(n+1)$ ipotizzando vero (ed utilizzando) la veridicità di $P_n$. Equivale a dire che
se $P_n$ è vero, $=>$ $P_(n+1)$ è vero a sua volta.
allora lui cosa fa, scrive l'enunciato $P_(n+1) = (1 + x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x$
se ipotizziamo che $P_n$ è vera, allora mettendo in evidenza un $(1 + x)$ a destra possiamo dire che $(1 + x)(1 + x)^n >= (1 + nx)(1 + x)$
poi vai avanti a svolgere questa disuguaglianza e alla fine, confrontandola con l'enunciato per $(n + 1)$, essa risulterà vera per confronto, quindi avrai dimostrato che $P_(n+1)$ è vera implicando $P_n$ vera.
se $P_n$ è vero, $=>$ $P_(n+1)$ è vero a sua volta.
allora lui cosa fa, scrive l'enunciato $P_(n+1) = (1 + x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x$
se ipotizziamo che $P_n$ è vera, allora mettendo in evidenza un $(1 + x)$ a destra possiamo dire che $(1 + x)(1 + x)^n >= (1 + nx)(1 + x)$
poi vai avanti a svolgere questa disuguaglianza e alla fine, confrontandola con l'enunciato per $(n + 1)$, essa risulterà vera per confronto, quindi avrai dimostrato che $P_(n+1)$ è vera implicando $P_n$ vera.
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